3. 対数とその性質(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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3.1　対数とは

例　$y=2^x$

　$y=2^x$ の単調性により，
　　$y=1$ のとき，$x=0$
　　$y=2$ のとき，$x=1$
　　$y=4$ のとき，$x=2$
　　$y=8$ のとき，$x=3$
と $y$ の値に対して，$x$ の値がただ1つ定まる．

そこで，「$y=P$ のとき，$P=2^x$ となる $x$ の値」を \[\log_2P\] で表すと， \[\begin{align*} \log_21&=0\\[5pt] \log_22&=1\\[5pt] \log_24&=2\\[5pt] \log_28&=3 \end{align*}\] となる．

　一般に， $a>0,a\neq1,b>0$ のとき，$a^p=b$ を満たす $p$ がただ1つ存在し，これを \[\log_ab\] と書き，$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{b}$ の対数という．また，$b$ を真数という．

対数　$a>0,\ a\neq1,\ b>0$ のとき，\[a^p=b \iff p=\log_ab \]

補足

例

　$\log_3 81=\square \iff 3^\square=81\ \therefore \square=4$

　$\log_2 \dfrac18=\square \iff 2^\square=\dfrac18\ \therefore \square=-3$

例題　$\log_48$ の値を求めよ．

　解答例を表示する

　$\log_48=x$ とおくと， \[\begin{align*} 4^x&=8\\[5pt] (2^2)^x&=2^3\\[5pt] 2^{2x}&=2^3 \end{align*}\] 　よって， \[2x=3\ \ \ \therefore x=\underline{\boldsymbol{\frac32}}\]

3.2　対数の性質

　$a>0,\ a\neq1$ のとき， \[a^0=1,\ \ a^1=a,\ ,\ a^{-1}=\frac1a\] により，次が成り立つ：

\[\log_a1=0,\ \log_aa=1,\ \log_a\frac1a=-1\]

対数の性質　$a>0,\ a\neq1$ で，$M,\ N$がともに正の数，$k$が実数のとき，\begin{align*} &[1]\ \log_aMN=\log_aM+\log_aN\\[5pt] &[2]\ \log_a\frac MN=\log_aM-\log_aN\\[5pt] &[3]\ \log_aM^k=k\log_aM \end{align*}

　$r=\log_aM,s=\log_aN$ とおくと， \[M=a^r,\ \ N=a^s\] である．

[1]　$MN=a^ra^s=a^{r+s}.$
　　　（$\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{(r+s)}$ 乗すると $\boldsymbol{MN}$）
　　故に， \[\log_aMN=r+s=\log_aM+\log_aN\]

[2]　$\dfrac MN=\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}.$
　　　（$\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{(r-s)}$ 乗すると $\boldsymbol{\dfrac MN}$）
　　故に， \[\log_a\dfrac MN=r-s=\log_aM-\log_aN\]

[3]　$M^k=(a^r)^k=a^{kr}.$
　　　（$\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{kr}$ 乗すると $\boldsymbol{M^k}$）
　　故に， \[\log_a M^k=kr=k\log_aM\]

■

例

\[\begin{align*} \log_{10}2+\log_{10}5&=\log_{10}(2\times5)\ \ [\mbox{←性質}1]\\[5pt] &=\log_{10}10\\[5pt] &=\underline{1} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \log_2 5-\log_2 40&=\log_2 \frac5{40}\ \ [\mbox{←性質}2]\\[5pt] &=\log_2 \frac18\\[5pt] &=\log_2 2^{-3}\\[5pt] &=\underline{-3} \end{align*}\]

\[\begin{align*} 6\log_5 \sqrt[3]5&=6\log_5 5^{\frac13}\\[5pt] &=6\times \frac13\log_5 5\ \ [\mbox{←性質}3]\\[5pt] &=\underline{2} \end{align*}\]

3.3　底の変換公式

　$a,b,c$ が底の条件(正であって1でない)を満たすとする．
　$\log_ab=p$ とおくと， \[b=a^p\] 　この両辺は正であるから，$c$ を底とする対数をとると， \[\begin{align*} \log_cb&=\log_ca^p\\[5pt] \log_cb&=p\times\log_ca\ \ [\mbox{←性質}3] \end{align*}\] 　$a\neq1$ より$\log_ca\neq0$ であるから， \[p=\frac{\log_cb}{\log_ca}\] 　$p=\log_ab$ であったから置き換えると，次の底の変換公式と呼ばれる等式が得られる：

\[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]

　またこの式で，$c$ を $b$ とおくと， \[\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}=\frac1{\log_ba}\]

　即ち，底と真数を入れ替えると，その数の逆数と等しくなる．

底の変換公式　$a,\ b,\ c$ が正であって1でないとき（すなわち底の条件を満たすとき），\[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]　特に，\[\log_ab=\frac1{\log_ba}\]

例

\[\begin{align*} &\log_48=\frac{\log_28}{\log_24}=\frac32\\[5pt] &\log_{27}9=\frac{\log_39}{\log_327}=\frac23\\[5pt] &\log_23\!\times\!\log_38\!=\!\log_23\!\times\!\frac{\log_28}{\log_23}\!=\!\log_28\!=\!3 \end{align*}\]

補足

　3番目の例で分かるように，一般に次の関係が成り立つ：

\[\log_ab\times\log_bc=\log_ac\]

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