4. 等式の証明(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第1章　式と証明

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4. 等式の証明

4.1　等式の証明

　等式 $A=B$ の証明の仕方としては，次のような方法がある．

等式 $A=B$ の証明の仕方①　$A=\cdots=B$
　　(左辺を変形して右辺を導く．)
②　$B=\cdots=A$
　　(右辺を変形して左辺を導く．)
③　$A=\cdots=C,\ B=\cdots=C$
　　(左辺・右辺共に変形して，同じ式Cを導く．)
④　$A-B=\cdots=0$
　　( (左辺)$-$(右辺) を計算して0を導く．)

例題　等式 $(x\!+\!y)^2\!-\!2xy\!=\!x^2\!+\!y^2$ を証明せよ．

①　[左辺を変形して右辺を導く] $$\begin{align*} (\mbox{左辺})&=(x^2+2xy+y^2)-2xy\\[5pt] &=x^2+y^2\\[5pt] &=(\mbox{右辺}) \end{align*}$$

■

②　[右辺を変形して左辺を導く] $$\begin{align*} (\mbox{右辺})&=x^2+y^2+(2xy-2xy)\\[5pt] &=(x^2+2xy+y^2)-2xy\\[5pt] &=(x+y)^2-2xy\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}$$

■

④　[(左辺)$-$(右辺) を計算して0を導く] $$\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\{(x+y)^2-2xy\}-(x^2+y^2)\\[5pt] &=\{(x^2+2xy+y^2)-2xy\}-(x^2+y^2)\\[5pt] &=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\\[5pt] &=0 \end{align*}$$

■

注意

　次のような証明の書き方は正しくない．

$$\begin{align*} (x+y)^2-2xy&=x^2+y^2\ \ \cdots (*)\\[5pt] (x^2+2xy+y^2)-2xy&=x^2+y^2\ \ \cdots (**)\\[5pt] x^2+y^2&=x^2+y^2 \end{align*}$$

　$(*)$ の「$=$」をこれから示そうというのであるから，$(*)$ の左辺を変形しただけの $(**)$ も，「$=$」が成り立つかどうかはわかっていない．（「$(*)$ を示すことは，$(**)$ を示すことと同値で，$\cdots$」などときちんと書いていくのならよいが．．．）

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