2. 分数式(ノート)
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数学Ⅱ　第1章　式と証明

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2. 分数式

2.1　分数式の計算

　$\dfrac{x^2-1}{x+2}$ のような式を分数式という．

計算例

(1)　$\dfrac{x^3-1}{x^2+x-2}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$

(2)　$\dfrac1{x^2+x}-\dfrac1{x^2-x-2}$
　　　　　$=\dfrac1{x(x+1)}-\dfrac1{(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=\dfrac{x-2}{x(x+1)(x-2)}-\dfrac x{x(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=\dfrac{(x-2)-x}{x(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=-\dfrac2{x(x+1)(x-2)}$

　これまでの分数計算と同様に，(1)の操作を約分するといい，(2)の操作を通分して計算するという．

　整式(単項式と多項式)と分数式をあわせて有理式という．

注意

①　例えば，$\dfrac{x+5}2$ は $\dfrac 12x+\dfrac52$ と書けるから，分数式ではなく整式である．
②　例えば，$\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は約分を行って $\dfrac 1{x+1}$ とできるが， \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac 1{x+1}\ \ \cdots(*)\] と書くとき，両辺の $x$ を 1 とおくと，左辺は分母が0となって意味を持たないが，右辺は $\dfrac12$と なり意味を持つ．このように，$(*)$式の等号「$=$」は，$x\neq1$ が前提となっている．

分数式の基本性質　$A$～$D$を整式とする．（ただし$C\neq0,D\neq0$）\begin{align*} &\frac AB=\frac{A\times C}{B\times C}\\ &\frac AB=\frac{A\div D}{B\div D} \end{align*}

分数式の四則\begin{align*} &\frac AC+\frac BC=\frac{A+B}C\\ &\frac AC-\frac BC=\frac{A-B}C\\ &\frac AB\times\frac CD=\frac{AC}{BD}\\ &\frac AB\div\frac CD=\frac AB\times\frac DC=\frac{AD}{BC} \end{align*}

2.2　仮分数式→整式＋真分数式

例題1　関数 $y=\dfrac {2x+3}{x-1}$ $(2\leqq x\leqq 3)$ の値域を求めよ．

ポイント
割り算を行って，
　　(整式)+(真分数式)
の形にする．

答

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　$2x+3=(x-1)\times2+5$ より，

\[\begin{align*} y&=\frac{2x+3}{x-1}\\[5pt] &=\frac{2(x-1)+5}{x-1}\\[5pt] &=2+\frac5{x-1} \end{align*}\]

　$2\leqq x\leqq 3$ のとき，

\[\frac5{3-1}\leqq\frac5{x-1}\leqq\frac5{2-1}\]

\[\therefore \frac 52\leqq\frac5{x-1}\leqq 5\]

　よって求める値域は，

\[2+\frac52\leqq y\leqq 2+5\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{\frac92\leqq y\leqq 7}}\]

例題2　関数 $y=\dfrac {x^2}{x-1}$ $(x > 1)$ の最小値を求めよ．

答

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　$x^2=(x+1)(x-1)+1$ より，

\[\begin{align*} y&=\frac{x^2}{x-1}\\[5pt] &=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}\\[5pt] &=x+1+\frac1{x-1}\\[5pt] &=x\underline{\boldsymbol{-1}}+\frac1{x-1}\ \underline{\boldsymbol{+2}} \end{align*}\]

　$x>1$ より $x-1>0$，$\dfrac1{x-1}>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により，

\[\begin{align*} y&\geqq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac1{x-1}}+2\\[5pt] &=2+2=4 \end{align*}\]

　等号成立は，$x-1=\dfrac1{x-1}$，すなわち

\[\begin{align*} (x-1)^2&=1\\[5pt] x-1&=\pm1\\[5pt] x&=1\pm1 \end{align*}\]

　$x>1$ より $x=2$

　以上により，$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小値4をとる．

発展的補足

　この例題の別解を3つ挙げる．

別解1

　$\dfrac {x^2}{x-1}=k$ とおいて整理すると

\[x^2-kx+k=0\]

　題意はこの2次方程式が $x>1$ に実数解をもつような $k$ の最小値を求めることと同値で，その条件は左辺が $x=1$ のとき正の数となることに注意すると，

\[\frac k2>1,\ k^2-4k\geqq0\]

\[\therefore k\geqq4\]

　従って求める最小値は4．

※2つの不等式条件については，2次方程式の解の配置 を参照．

別解2

　$\dfrac {x^2}{x-1}=k$ とおく．左辺の分母を払って

\[x^2=k(x-1)\]

　両辺をそれぞれ $y$ とおいたグラフは，$y=x^2$ が放物線，そして $y=k(x-1)$ が定点 $(1,0)$ を通る直線である．従って題意は放物線と直線が $x>1$ で共有点をもつような $k$ の最小値を求めることと同値である．グラフを考えると $k$ が最小となるのは2つのグラフが接するときであるから，$x^2-kx+k=0$ の判別式 $D=0$ より

\[k^2-4k=0\ \ \therefore k=4\]

　よって求める最小値は4．

※$k=0$ のときは不適．

別解3

　$\dfrac {x^2}{x-1}$ を $\dfrac {x^2-0}{x-1}$ と書き換えると，この式は2点 $(x,x^2)$，$(1,0)$ を結ぶ直線の傾きを表す．従って題意は $x>1$ におけるこの直線の傾きの最小値を求めることと同値で，$(x,x^2)$ は放物線 $Y=X^2$ 上の点であるから，あとは例題2と同様に接する場合の傾きを求めて最小値は4．

2.3　繁分数式

例題　次の計算をせよ． \[\dfrac 1{1-\dfrac 1{1-\dfrac 2{x+1}}}\]

ポイント
分母の深いところ（下層）から計算する．

答

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\[\begin{align*} \frac1{1-\dfrac1{1-\dfrac2{x+1}}}&=\frac1{1-\dfrac1{\dfrac{x-1}{x+1}}}\\[5pt] &=\frac1{1-\dfrac{x+1}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{-2}{x-1}}\\[5pt] &=-\frac{x-1}2 \end{align*}\]

2.4　部分分数分解

例題　次を計算せよ．
(1)　$\dfrac1{x(x\!+\!1)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!1)(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!3)}$
(2)　$\dfrac1{x(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!4)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!4)(x\!+\!6)}$

答

(1)

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\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!1}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!1}\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!3}\!\right)\\[5pt] &=\frac1x-\frac1{x+3}\\[5pt] &=\frac{(x+3)-x}{x(x+3)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+3)} \end{align*}\]

(2)

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\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\frac12\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\\[5pt] &=\frac12\!\left\{\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\!\right\}\\[5pt] &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+6}\right)\\[5pt] &=\frac12\cdot\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}\\[5pt] &=\frac6{2x(x+6)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+6)} \end{align*}\]

2.5　分数式を含む方程式

例題　方程式 $\dfrac x{x-1}=\dfrac{3x-2}{x^2-x}$ を解け．

ポイント
(分母) $\neq0$ を確認する

答

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　 (分母)$\neq0$ より \[x-1\neq0\ \mbox{かつ}\ x^2-x=x(x-1)\neq0\] \[\therefore\ x\neq 0,1\ \ \cdots\mbox{①}\] 　このとき，与式の両辺に$x(x-1)$を掛けて， \[x^2=3x-2\] \[x^2-3x+2=0\] \[\therefore\ (x-1)(x-2)=0\] 　従って①より，$\boldsymbol{x=2}$

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