9. 様々な定積分(ノート)
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数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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9.　様々な定積分

この節には，一部数学Ⅲの内容が含まれます．

9.1　重要な定積分

積分計算を大幅に省力化

　例えば $\displaystyle{\int_1^3(x^2-4x+3)}dx$ を考えると

と計算できるが，これが $-\dfrac{2^3}6=-\dfrac86=-\dfrac43$ として計算できるとしたらどうだろう．これが事実なら上の計算は最早暗算レベルとなってしまう．

　この計算は次の積分公式によっていたのであるが，のちに面積を積分で計算する際に大活躍する．この公式が使える場面で，公式を使う，使わないでは計算の負担が雲泥の差となる．

重要な定積分\[\int_\alpha^\beta\!\!(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3\]

証明

\[\begin{align*} &\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[5pt] =&\int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}\,dx\\[5pt] =&\int_\alpha^\beta \left\{(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha)\right\}\,dx\\[5pt] =&\left[\frac{(x-\alpha)^3}3-(\beta-\alpha)\cdot\frac{(x-\alpha)^2}2\right]_\alpha^\beta\ \ (\cdots\mbox{☆})\\[5pt] =&\frac{(\beta-\alpha)^3}3-\frac{(\beta-\alpha)^3}2\\[5pt] =&-\frac16(\beta-\alpha)^3 \end{align*}\]

■

注意

　(☆) のところで，数学Ⅲ 2．置換積分法(不定積分)に出てくる積分の公式

\[\int(x+a)^n\,dx=\frac1{n+1}(x+a)^{n+1}+C\]

を利用した．(ただし $C$ は積分定数)
　この公式は数学Ⅱの範囲でも使える場面が案外多い．

補足

①　公式が使える場面
　2次関数 $f(x)$ が，

1. $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解でき，
2. しかも $\alpha$ と $\beta$ が積分区間の両端にくるときに，

$f(x)$ の $\alpha$ から $\beta$ までの定積分を

\[\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3\] として計算できるのである．

②　$\boldsymbol{\beta-\alpha}$ の計算方法
　$\beta-\alpha$ は解と係数の関係により， \[|\beta-\alpha|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\] から計算するとラクな場合もある．

③ 答案で公式を使う際のマナー\[\begin{align*} \int_\alpha^\beta f(x)\,dx&=\underline{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx}\\[5pt] &=-\frac16(\beta-\alpha)^3 \end{align*}\] と因数分解した　　の形，即ち公式の左辺の形を書いておくのが無難．

例1

\[\begin{align*} \int_{-1}^2(x^2-x-2)\,dx&=\int_{-1}^2(x+1)(x-2)\,dx\\[5pt] &=-\frac16\{2-(-1)\}^3\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{-\frac92}} \end{align*}\]

例2

　$2x^2-6x+1=0$ の2解を $\alpha,\beta$ $(\alpha <\beta)$ とおくと， \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta (2x^2-6x+1)\,dx&=2\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[5pt] &=2\cdot\left\{-\frac16(\beta-\alpha)^3\right\}\\[5pt] &=-\frac13(\beta-\alpha)^3\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \end{align*}\] 　ここで解と係数の関係により， \[\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=\frac12\] 　$\alpha <\beta$ より $\beta-\alpha>0$ であるから， \[\therefore \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt7\] 　よって，①$=\underline{\boldsymbol{-\dfrac{7\sqrt7}3}}$

9.2　奇関数と偶関数の定積分

　奇関数と偶関数の定積分は数学Ⅲの内容であるが，結果だけでも知っておくと，計算を大幅に省力化できる．

奇関数・偶関数という用語が登場するのはここが初めてではなく，三角関数のところで既に学習済みである．

奇関数とは

まずは具体例から

　例として関数 $f(x)=x^3$ について， $x$ のいくつかの値に対する $f(x)$ の値を計算すると次のようになる．

　すると例えば $f(-3)$ と $f(3)$ の値は，絶対値がともに27で，しかも異符号である．これと同じことが $f(-2)$ と $f(2)$，そして $f(-1)$ と $f(1)$ についてもいえる．

　今は整数のいくつかの値について調べただけであるが，いかなる実数 $a$ であろうと $x=-a$ のときの値 $f(-a)$ と，$x=a$ のときの値 $f(a)$ は絶対値が等しく，かつ異符号であることが

\[f(-a)=(-a)^3=-a^3=-f(a)\]

となることからわかる．

次に一般論

　任意の実数 $x$ に対して，

\[f(-x)=-f(x)\]

が成り立つ関数を奇関数(odd function)いう．グラフは原点に関して対称(点対称)である．

例　$x,x^3,x^5,\sin x,\tan x$

偶関数とは

まずは具体例から

　例として関数 $f(x)=x^2$ について， $x$ のいくつかの値に対する $f(x)$ の値を計算すると次のようになる．

　すると例えば $f(-3)$ と $f(3)$ の値はともに9で等しい．これと同じことが $f(-2)$ と $f(2)$，そして $f(-1)$ と $f(1)$ についてもいえる．

　今は整数のいくつかの値について調べただけであるが，いかなる実数 $a$ であっても $x=-a$ のときの値 $f(-a)$ と，$x=a$ のときの値 $f(a)$ は同じ値であることが，

\[f(-a)=(-a)^2=a^2=f(a)\]

となることからわかる．

次に一般論

　任意の実数 $x$ に対して，

\[f(-x)=f(x)\]

が成り立つ関数を偶関数(even function)という．グラフは $y$ 軸に関して対称(線対称)である．

例　$x^2,x^4,5$(定数関数)$,\cos x$

積分区間の両端の絶対値が等しく異符号の場合に使える決定打

　奇関数と偶関数の定積分について，積分区間の両端の絶対値が等しく，かつ異符号であるとき，次が成り立つ：

奇関数と偶関数の定積分\begin{align*} &f(x)\mbox{が奇関数のとき},\ \int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=0\\ &f(x)\mbox{が偶関数のとき},\ \int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=2\!\int_0^a\!\!f(x)\,dx \end{align*}

略証

（詳しくは，数学Ⅲの 5. 置換積分法(定積分) を参照．)

\[\begin{align*} \int_{-a}^a f(x)\,dx&=\underline{\int_{-a}^0 f(x)\,dx}+\int_0^a f(x)\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[5])\\[5pt] &=\underline{\int_0^a f(-x)\,dx}+\int_0^a f(x)\,dx \end{align*}\] 　(下線部の変形で数学Ⅲに出てくる置換積分法を用いた．)

　$f(x)$ が奇関数　→　(下線部)$\displaystyle=-\int_0^af(x)\,dx$
　$f(x)$ が偶関数　→　(下線部)$\displaystyle=\int_0^af(x)\,dx$

補足

関数の偶奇性の性質

• 定数倍しても，関数の偶奇は変わらない．
  　　例　$4x$ は奇関数
• 偶奇が同じ関数どうしの和，差も偶奇は不変．
  　　例　$2x^3-5x$ は奇関数
• (あ)　(奇関数)×(奇関数) → (偶関数)
  (い)　(偶関数)×(偶関数) → (偶関数)
  (う)　(奇関数)×(偶関数) → (奇関数)
  　例　(あ)　$x\times x^3=x^4$
  　　　(い)　$x^2\times x^4=x^6$
  　　　(う)　$x\times x^2=x^3$

例

\[\begin{align*} &\int_{-3}^3(x^3+3x^2-6x-1)\,dx\\[5pt] =&\int_{-3}^3(x^3-6x)\,dx+\int_{-3}^3(3x^2-1)\,dx\\[5pt] =&2\int_0^3(3x^2-1)\,dx\\[5pt] =&2\Bigl[x^3-x\Bigr]_0^3\\[5pt] =&\underline{\boldsymbol{48}} \end{align*}\]

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