7. 不定積分(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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7.　不定積分

7.1　不定積分

　$x^2,x^2+1,x^2-3$ といった関数は，微分するといずれも $2x$ となる．このように，微分すると $2x$ になる関数を $2x$ の不定積分，または原始関数といい，

$$\int 2x\,dx$$

で表す．また，関数 $2x$ の不定積分を求めることを，$2x$ を積分するという．
　先の例からもわかるように，$2x$ の不定積分は1つではなく，一般に $C$ を定数として $x^2+C$ の形の関数はすべて $2x$ の不定積分である．即ち

$$\int 2x\,dx=x^2+C$$

と書ける．定数 $C$ を積分定数という．

まとめ　関数 $f(x)$ について，微分すると $f(x)$ になる関数，すなわち $$F'(x)=f(x)$$ を満たす関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の不定積分，または原始関数といい， $$\int\!f(x)\,dx$$ で表す． 　また，$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とすると， $$\int\!f(x)\,dx\!=\!F(x)\!+\!C\ (C\mbox{は定数})$$ であり，$C$ を積分定数という．関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを，$f(x)$ を積分するという．

　今後，「$C$は積分定数」という断りを省略することがある．

7.2　$x^n$の不定積分

$$\begin{array}{rl} (x)’=1\ \mbox{より} & \displaystyle\int 1\,dx=x+C\\[5pt] \left(\dfrac{x^2}2\right)’=x\ \mbox{より} & \displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^2}2+C\\[5pt] \left(\dfrac{x^3}3\right)’=x^2\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C\\[5pt] &\vdots\\[5pt] \left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=x^n\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \end{array}$$

　$n$ が 0 以上の整数のとき， $$\int\!x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ \ (C\mbox{は積分定数})$$

7.3　不定積分の性質

　$f(x), g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x), G(x)$ とする．(即ち，$F'(x)=f(x)$，$G'(x)=g(x)$)
　$k$ を定数として，

$$\begin{align*} \{kF(x)\}’&=kF'(x)=kf(x)\\[5pt] \{F(x)+G(x)\}’&=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) \end{align*}$$

　よって次が成立：

不定積分の性質 $$\begin{align*} &[1]\ \int\!kf(x)dx\!=\!k\!\int\!f(x)dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int\!f(x)dx\!+\!\int\!g(x)dx \end{align*}$$

例　($C$ 及び $C_1$ は積分定数とする．)

$$\begin{align*} \int3x\,dx&=3\int x\,dx\\[5pt] &=3\left(\frac{x^2}2+C\right)\\[5pt] &=\frac32x^2+3C_1\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac32x^2+C}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int(3t^2-4t+1)dt&=3\int t^2\,dt-4\int t\,dt+\int dt\\[5pt] &=3\cdot\frac{t^3}3-4\cdot\frac{t^2}2+t+C\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{t^3-2t^2+t+C}} \end{align*}$$

例題　$f'(x)\!=\!3x^2\!-\!2x\!+\!1, f(1)\!=\!3$ を満たす $f(x)$ を求めよ．

$$\begin{align*} f(x)&=\int f'(x)\,dx\\[5pt] &=\int (3x^2-2x+1)dx\\[5pt] &=x^3-x^2+x+C\ \ (C\,\mbox{は積分定数}) \end{align*}$$ 　$f(1)=3$ より， $$1^3-1^2+1+C=3\ \ \therefore C=2$$ 　従って，$\underline{\boldsymbol{f(x)=x^3-x^2+x+2}}$

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