高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
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10. 面積
10.1 曲線と $x$ 軸の間の面積
証明
$a$ から $x$ までの面積を $S(x)$ とすると，$S=S(b)$ である．
いま，$x$ を $h(>0)$ だけ増加させると，面積の増分は
$S(x+h)-S(x)\ \ \cdots$ ①
となる：
このとき，
$x\leqq t\leqq x+h\ \ \cdots$ ②
の範囲にある $t$ を用いて，
①$=h\cdot f(t)$
とできる．両辺を $h$ で割って，
$\dfrac{S(x+h)-S(x)}h=f(t)\ \ \cdots$ ③
以上は $h>0$ としたが，$h<0$ では
\[S(x)-S(x+h)=-hf(t)\]
\[\therefore \frac{S(x+h)-S(x)}h=f(t)\]
となり，結局 $h<0$ の場合も③となる．
ここで，$h\to0$ のとき，$t\to x$ (∵②)であるから，③で $h\to 0$ のとき，
\[\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{S(x+h)-S(x)}h&=f(x)\\[5pt] \therefore S'(x)&=f(x)\hspace{15mm} \end{align*}\]
よって，$S(x)$ は $f(x)$ の不定積分であることがわかる．$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の1つとすると，
$S(x)=F(x)+C\ \ (C$ は定数)
$x=a$ とおくと
\[S(a)=F(a)+C\ \ \therefore C=-F(a)\]
よって，
\[S(x)=F(x)-F(a)\]
\[\therefore S(b)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx\]
■
補足
$a\leqq x\leqq b$ で常に $f(x)\leqq 0$ のとき，図の面積 $S$ は，
\[S=-\int_a^b f(x)dx\]
10.2 曲線と $x$ 軸の間の面積の例
例1
$0\leqq x\leqq 1$ で常に $y\geqq 0$ であるから，
\[\begin{align*} S&=\int_0^1(x+1)dx\\[5pt] &=\left[\frac{x^2}2+x\right]_0^1\\[5pt] &=\frac32 \end{align*}\]
※ 台形の面積$S=\dfrac12(1+2)\times1=\dfrac32$
例2
$-1\leqq x\leqq 1$ で常に $y\leqq 0$ であるから，
\[\begin{align*} S&=-\int_{-1}^1(x^2-1)dx\\[5pt] S&=-\int_{-1}^1(x+1)(x-1)dx\\[5pt] &=-\left[-\frac16\{1-(-1)\}^3\right]\\[5pt] &=\frac43 \end{align*}\]
例3
✕ $\displaystyle S=\int_{-2}^1f(x)dx$
○ $\displaystyle S=\int_{-2}^0f(x)dx-\int_0^1f(x)dx$
$F(x)=\dfrac{x^4}4+\dfrac{x^3}3-x^2$ とすると，
\[\begin{align*} S&=\Bigl[F(x)\Bigr]_{-2}^0-\Bigl[F(x)\Bigr]_0^1\\[5pt] &=2F(0)-F(-2)-F(1)\\[5pt] &=2\times0-\left(-\frac83\right)-\left(-\frac5{12}\right)\\[5pt] &=\frac{29}{12} \end{align*}\]
例4
\[\begin{align*} S&=\int_{-1}^1|x^2-2x|dx\\[5pt] &=\int_{-1}^0(x^2-2x)dx+\int_0^1\{-(x^2-2x)\}dx\\[5pt] &=\cdots\\[5pt] &=\frac43-\left(-\frac23\right)\\[5pt] &=2 \end{align*}\]
10.3 2曲線の間にある面積
証明
曲線 $y=f(x)$，$y=g(x)$ のグラフを平行移動して，
$y=f(x)+k,\ \ y=g(x)+k\ \ (k$ は定数)
としても囲まれる部分の面積は変わらない．そこで $k$ の値として，$a\leqq x\leqq b$ において常に
\[f(x)+k\geqq0,\ \ g(x)+k\geqq0\]
となるような十分大きな値をとる：
すると，先に示した積分による面積の公式により
\[\begin{align*} S&=\int_a^b\{f(x)+k\}dx-\int_a^b\{g(x)+k\}dx\\[5pt] &=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx \end{align*}\]
■
10.4 2曲線の間にある面積の例
例1
\[\begin{align*} S&=\int_1^2\{(2x+1)-x^2\}dx\\[5pt] &=\left[-\frac{x^3}3+x^2+x\right]_1^2\\[5pt] &=-\frac{2^3-1^3}3+(2^2-1^2)+(2-1)\\[5pt] &=-\frac73+3+1\\ &=\frac53 \end{align*}\]
例2
$x^2=x+2$ より，$x^2-x-2=0$．$\therefore x=-1,2$．
\[\begin{align*} S&=\int_{-1}^2\{(x+2)-x^2\}dx\\[5pt] &=-\int_{-1}^2(x^2-x-2)dx\\[5pt] &=-\int_{-1}^2(x+1)(x-2)dx\\[5pt] &=-\left\{-\frac16(2+1)^3\right\}\\[5pt] &=\frac92 \end{align*}\]
例3
$x^2=-x^2+2x$ より，$x(x-1)=0$．$\therefore x=0,1$．
\[\begin{align*} S&=\int_0^1\{(-x^2+2x)-x^2\}dx\\[5pt] &=-2\int_0^1 x(x-1)dx\\[5pt] &=-2\left\{-\frac16(1-0)^3\right\}\\[5pt] &=\frac13 \end{align*}\]
例4
\[S=\int_{-2}^{-1}\{x^2-(x+2)\}dx+\int_{-1}^1\{(x+2)-x^2\}dx\]
ここで，偶関数と奇関数の定積分の公式を用いると，
\[\int_{-1}^1\{(x+2)-x^2\}dx=2\int_0^1(-x^2+2x)dx\]
となるから，
\[\begin{align*} S&=\left[\frac{x^3}3-\frac{x^2}2-2x\right]_{-2}^{-1}-2\left[\frac{x^3}3-2x\right]_0^1\\[5pt] &=\left(\frac73+\frac32-2\right)-2\left(\frac13-2\right)\\[5pt] &=\frac{31}6 \end{align*}\]
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