1. 微分係数(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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1.　微分係数

1.1　平均変化率

平均変化率とは何か

　1次関数 $y=2x+3$ を例にとると，変化の割合すなわち

変化の割合$=\dfrac{y\mbox{の増加量}}{x\mbox{の増加量}}$

は $x$ の値が「どこからどこまで増加するのか」という制限がなく常に2である．ところが一般の関数ではそうはいかない．例えば2次関数 $y=x^2$ は $x$ の値が1から4まで3だけ増加したとき，それに伴って $y$ は1から16まで15だけ増加するから，変化の割合は $\dfrac{15}3=5$ である．一方 $x$ を同じ3だけ増加させるといっても，例えば0から3まで増加させるとき，$y$ は0から9まで9だけ増加するから，変化の割合は $\dfrac93=3$ となって先程の5と一致していない．このように，一般の関数では $x$ の値を「①どこから」「②どこまで」増加させるかの2つの要素によって，変化の割合は変わってくるのである．

　そこで新しい用語として 平均変化率 を導入する．これは変化の割合の発展版ともいえるもので，「$x$ が $a$ から $b$ まで変化する」という情報を取り入れた次の式で定義される：

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

　この式を関数 $f(x)$ の $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化したときの平均変化率というのである．

補足

　平均変化率は，$f(x)$ のグラフ上の2点を結ぶ直線(図では直線AB)の傾きを表す．

例題　$f(x)=x^2$ のとき，$x$ が1から2まで変化したときの $f(x)$ の平均変化率を求めよ．

　平均変化率$=\dfrac{2^2-1^2}{2-1}=\underline{\boldsymbol{3}}$

1.2　極限値

極限値とは何か

　例えば，関数 $f(x)=x+1$ を考える．この $x$ の値を，1と異なる値をとりながら限りなく1に近づけると，$f(x)$ はどのような値に近付いていくだろうか？

　グラフからもわかるように，$f(x)$ は 2 に限りなく近付く．同様に考えて，$x$ が限りなく2に近付けば， $f(x)$ は 3 に限りなく近付くし， $x$ が $-1$ に限りなく近付けば，$f(x)$ は 0 に限りなく近付く．

　一般に，関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近付くとき，それに応じて $f(x)$ が $\alpha$アルファ に限りなく近付くならば，$\alpha$ を $\boldsymbol x$ が $\boldsymbol a$ に限りなく近付くときの $\boldsymbol{f(x)}$ の極限値といい，

$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$

または，

$x\to a$ のとき，$f(x)\to\alpha$

で表す．

●定数関数の極限値

　例えば関数 $f(x)=2$ というのは，どんな $x$ の値に対しても2の値をとるような関数で，このような関数を定数関数という．この関数は $x$ をどのような値に近づけようとも極限値が常に2になるというのは明らかである．

定数関数の極限値　$f(x)=c$ ($c$ は定数) のとき， $$\lim_{x\to a}f(x)=c$$

例

$$\lim_{x\to5}4=4$$

注意

極限値は存在しないこともある

　例えば，$f(x)=\dfrac1{x^2}$のとき，${\displaystyle\lim_{x\to0}}\ f(x)$ は値がどんどん大きくなるため，一定の値に限りなく近付かない．従ってこの場合の極限は存在しない．(極限値は $\infty$ というのは間違い．「$\infty$」は値ではない．)

発展的注意

「$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ を求めることは $f(a)$ を計算することである」は必ずしも正しくない

　細かい注意をしておくと，先の $f(x)=x+1$ では $\displaystyle\lim_{x\to1} f(x)=2$ になり，これは $f(1)=2$ と一致する．同様に，$\displaystyle\lim_{x\to2} f(x)=3$ は，$f(2)=3$ と等しく，$\displaystyle\lim_{x\to -1} f(x)=0$ は，$f(-1)=0$ と等しい．この結果を見ると「$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ を求めることは，$f(a)$ を計算することではないか」と思ってしまうかもしれないが，これは必ずしも正しくない．例えば関数 $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ において， $x$ の値を限りなく1に近づけてみよう．この関数の (分母)$=x-1\neq0$ より $x$ は1をとれないから，$\boldsymbol{ g(1)}$ などというものは考えられない．しかし $x$ が1と異なる値をとる限りにおいて，

$$g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$$

となり，関数の値は $x+1$ の値と一致する．

　従って，グラフからもわかるように，$g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の $x$ を，1と異なる値をとりながら限りなく1に近づけると，$g(x)$ は限りなく2に近付くのである．

　つまり，極限値とは関数が限りなく近付く値であって，関数がその値をとれるかどうかには全く関心がない．ほとんど同じ例だが，

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x+1&(x\neq1)\\ 5&(x=1) \end{array}\right.$$

は，$x$ が1と異なる値をとりながら限りなく1に近付くとき，$f(x)$ は限りなく2に近付く．

　極限値とは要するに関数の「目的値」である．その関数が向かっていく先のゴール地点を表したものが極限値であると理解しておこう．

極限値は関数の「目的値」である．

※　この辺りの事情は数学Ⅲ 関数の連続性 で詳しく学ぶ．

1.3　微分係数

　関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ から $b$ まで変化したときの平均変化率とは次のようなものであった：

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

　今 $a$ を固定し， $b$ を限りなく $a$ に近付けることを考える．もちろん $b$ は「$a$ と異なる値をとりながら」である．このとき $$\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ の極限値が存在するとき，すなわちある値に限りなく近付くとき，この極限値を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい， $$f'(a)$$ で表す：

微分係数　関数 $f(x)$ について，$x\!=\!a$ における微分係数 $f'(a)$ は， $$f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

　例えば，平均変化率 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ において， $a$ を1に固定してみよう：

$\dfrac{f(b)-f(1)}{b-1}\ \cdots$ ①

　すると動くのは $b$ だけ．よって $b$ が決まれば①の値が決まるのだから，その意味で①は $b$ の関数であるといえる．この $b$ の分数関数①で，$b$ が 1 と異なる値をとりながら限りなく1に近づくとき，①は極限値をもつこともあれば，もたないこともあるのだが，もし極限値をもつ場合にその極限値を「関数 $f(x)$ の $x=1$ における微分係数」というのである．つまり微分係数とは，平均変化率と呼ばれる分数関数 $\boldsymbol{\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ の極限値のことである．

補足1

　$f'(a)$ は，$f(x)$ のグラフの $x=a$ における接線の傾きを表す．

補足2

　$b=a+h$ と書くと，$b\to a$ のとき $h\to 0$．よって，$f'(a)$ は次のようにも表せる：

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$$

例題1　$f(x)=3x+1$ のとき，$f'(2)$を求めよ．

答

　解答例を表示する

$$\begin{align*} f'(2)&=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{\{3(2+h)+1\}-(3\cdot2+1)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{3h}h\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{3}} \end{align*}$$

例題2　$f(x)=x^2$ のとき，$f'(1)$を求めよ．

答

　解答例を表示する

$$\begin{align*} \frac{f(1+h)-f(1)}h&=\frac{(1+h)^2-1^2}h\\[5pt] &=\frac{2h+h^2}h\\[5pt] &=2+h\to 2\ (h\to0)\\[5pt] \therefore f'(1)&=\underline{\boldsymbol{2}} \end{align*}$$

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