4. ド・モアブルの定理(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第4章　複素平面

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4. ド・モアブルの定理

4.1　ド・モアブルの定理とは

　極形式の節で学んだように，極形式で表された2つの複素数

$$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$$

について，

$$z_1z_2=r_1r_2\{\sin(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$$

となるから，$z=\cos\theta+i\sin\theta$ のとき，

$$\begin{align*} z^2&=\cos(\theta+\theta)+i\sin(\theta+\theta)\\[5pt] &=\cos2\theta+i\sin2\theta\\[5pt] z^3&=z^2\cdot z\\[5pt] &=\cos(2\theta+\theta)+i\sin(2\theta+\theta)\\[5pt] &=\cos3\theta+i\sin3\theta \end{align*}$$

　また， $$\begin{align*} \frac1z&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos\theta+i\sin\theta}\\[5pt] &=\cos(0-\theta)+i\sin(0-\theta)\\[5pt] &=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\\[5pt] \frac1{z^2}&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos2\theta+i\sin2\theta}\\[5pt] &=\cos(0-2\theta)+i\sin(0-2\theta)\\[5pt] &=\cos(-2\theta)+i\sin(-2\theta)\\[5pt] \frac1{z^3}&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos3\theta+i\sin3\theta}\\[5pt] &=\cos(0-3\theta)+i\sin(0-3\theta)\\[5pt] &=\cos(-3\theta)+i\sin(-3\theta)\\[5pt] \end{align*}$$

　従って，複素数 $z$，及び自然数 $n$ に対して，$z^{-n}$ を $\dfrac1{z^n}$，$z^0=1$ と定義すれば，一般に次が成り立つ：

ド・モアブルの定理　$n$ が整数のとき， $$(\cos\theta +i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

4.2　1の $n$ 乗根

※ 「$n$ 乗根(累乗根)」についての復習はこちら．

　1の $n$ 乗根( $n$ 乗すると1になる数)を $z$ とする：

$$z^n=1$$

　すると，$|z|^n$ は $$|z|^n=|z^n|=1$$ であり，$|z|$ は非負の実数であるから，$|z|=1$．従って，$z$ は複素平面上の原点を中心とする単位円周上の点であるから，極形式で $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおけて， $$\begin{align*} z^n&=1\\[5pt] \iff \cos n\theta+i\sin n\theta&=\cos 0+i\sin 0\\[5pt] \iff n\theta&=0+2k\pi\ \ (k\,\mbox{は整数})\\[5pt] \iff \theta&=\frac{2k\pi}n \end{align*}$$

$\cos$ と $\sin$ の周期は $2\pi$ であるから，$z=\cos\dfrac{2k\pi}n+i\sin\dfrac{2k\pi}n$ ($k$ は整数)のうち，異なるものは $$k=0,1,2,\cdots,n-1$$ の $n$ 個である．

まとめ　1の $n$ 乗根は次の $n$ 個： $$\begin{align*} \cos\frac{2k\pi}n&+i\sin\frac{2k\pi}n\\ &(k=0,\ 1,\ 2,\,\cdots ,\ n-1) \end{align*}$$

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