1. 複素平面(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第4章　複素平面

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1. 複素平面	[会員]
2. 複素数が表す図形	[会員]
3. 極形式	[会員]		[会員]
4. ド・モアブルの定理	[会員]
5. 複素数と図形	[会員]

1. 複素平面

　このノートでは特に断らない限り，$a+b\,i$ などと書けば，$a,\ b$ は実数であるとする．また，$z,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma$ などの文字を断りなく複素数として記述することがある．

1.1　複素(数)平面とは

　複素数 $\alpha=a+bi$ ($a,b$ は実数)について，実部と虚部の組 $(a,b)$ を座標平面上の点の座標と捉え，複素数 $a+bi$ と点 $(a,b)$ を1対1に対応させる：

　このように平面上の点が1つの複素数を表す平面を複素数平面，又は複素平面(complex plane)という．高校の教科書では「複素数平面」となっているが，大学においては複素平面，複素解析，複素関数など「数」が入らないことが多い．
　複素平面の横軸を実軸，縦軸を虚軸という．

　複素数 $\alpha=a+b\,i$ の表す点をAとするとき，この点を A$(\alpha)$ と表す．また，「点 $\alpha$」や「点 $a+b\,i$」などといった呼び方もする．例えば「点 $2+i$」や「点 $2$」，「点 $5\,i$」等々．このような呼び方で原点O(オー)は「点 $0$ (ゼロ)」である．

　実軸上の点はすべて実数であり，逆にすべての実数は漏れなく実軸上にある．また虚軸上の点は $0$ を除いてすべて純虚数であり，逆に純虚数はどんなものも虚軸上にある．「数学Ⅱ 複素数と方程式」では実数も複素数の仲間であることを学んだが，複素平面が実軸を含んだものであることから

実数全体の集合は複素数全体の集合の部分集合である

ことが感覚的にも理解し易い．

補足

①　このノートでは，複素平面と通常の $xy$ 平面とを区別するために，両軸を $x,y$ ではなく，Re, Im で表す：

②　$a+b\,i$ を $<a,b>$ で表せば，複素数の和と実数倍の定義により， $$\begin{align*} <a,b>+<c,d> &=< a+c,b+d>\\[5pt] t<a,b>&=<ta,tb> \end{align*}$$ が成り立つ．これはベクトルの成分表示の和，実数倍と完全に同一である．つまり，内積を除くベクトルでの図形的応用は，そのまま複素平面でも使える．

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