5. 組合せ(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

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5．組合せ

5.1　組合せ

数学における「組合せ」とは

　$a,b,c$ の3文字から2文字を選んで一列に並べる順列は，

の6通りがある．このうち

$ab$ と $ba$，$bc$ と $cb$，$ca$ と $ac$

は選んだ文字がそれぞれ同じになっている．選んだ2つを一列に並べたりしないで，どの2つが選ばれたかだけに興味をもつならこのような重複を考慮して

$\{a,b\}$，$\{b,c\}$，$\{c,a\}$

の3組だけとなる．この各組を，異なる3個のものから2個を選ぶ組合せといい，その総数を

$$_3{\rm C}_2$$

で記号化する．すなわち $_3{\rm C}_2=3$ である．

組合せと順列の関係

　順列 $_3{\rm P}_2$ との関係は，上の各組において順番まで考慮したものが順列であり，この場合だと各組合せから $2\,!=2\times1=2$(通り)の順列ができるから，

$$\begin{align*} _3{\rm C}_2\times2\,!&=\,_3{\rm P}_2\\[5pt] \therefore\ _3{\rm C}_2&=\frac{_3{\rm P}_2}{2!}\left(=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3\right) \end{align*}$$

　一般に異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せは，

$_n{\rm C}_r=\dfrac{_n{\rm P}_r}{r\,!}$ (通り)

である．更に，$_n{\rm P}_r=\dfrac{n\,!}{(n-r)\,!}$ であったから，

$$_n{\rm C}_r=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}$$

とも書ける．

　また，$_n{\rm C}_0=1$ と定める．

補足

「C」は英語で組合せを意味する ‘Combination’ の頭文字である．

組合せ　異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せの総数は， $$_n\mbox{C}\,_r=\frac{_n\mbox{P}_r}{r\,!}=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}$$ 　特に $$_n\mbox{C}\,_0=1$$

5.2　組合せの種々の公式

$_n\mbox{C}\,_r$ を使ったいくつかの公式

　$_n\mbox{C}\,_r$ を使ったいくつかの公式を確認しておこう．

$$\begin{align*} &[1]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_n\mbox{C}}\,_{n-r}\\[5pt] &[2]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_{n-1}\mbox{C}}\,_{r-1}+{_{n-1}\mbox{C}}\,_r\\[5pt] &[3]\ \ r\,_n\mbox{C}\,_r=n\,_{n-1}\mbox{C}\,_{r-1} \end{align*}$$

　[1]は利用頻度が高く，例えば $_9\mbox{C}\,_7$ などを計算したいときに大いに助かる．[2]と[3]はやや程度が高い．

証明

[1] (左辺) $=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}$
　　(右辺) $=\dfrac{n!}{\{n-(n-r)\}!\,(n-r)!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$
　　よって，(左辺) $=$ (右辺)

[2] $$\begin{align*} (\mbox{右辺})&=\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!\,(r\!-\!1)!}\!+\!\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!r\}!\,r!}\\[5pt] &=\frac{(n-1)!}{(n-r)!\,(r-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!\,r!}\\[5pt] &=\frac{(n-1)!\{r+(n-r)\}}{(n-r)!\,r!}\ (\gets\mbox{通分して計算})\\[5pt] &=\frac{(n-1)!\times n}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}$$

[3] $$\begin{align*} (\mbox{左辺})&=r\cdot\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=n\cdot\frac{(n-1)!}{(n-r)!\,(r-1)!}\\[5pt] &=n\cdot\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!\,(r\!-\!1)!}\\[5pt] &=(\mbox{右辺}) \end{align*}$$

■

補足

次のように考えれば納得しやすい上に記憶もしやすい

　上の性質は，次のように考えると理解しやすい．

[1]　$n$ 人から $r$ 人の掃除当番を決めるのに，掃除当番でない $n-r$ 人を決めれば，残りが自動的に掃除当番となる．

[2]　パスカルの三角形

$$_4{\rm C}_1=\,_3{\rm C}_0+\,_3{\rm C}_1$$

[3]
　$r\,_n{\rm C}_r$：$n$ 人から $r$ 人のグループを作り，更にその中からボスを選ぶ．
　$n\,_{n-1}{\rm C}_{r-1}$：まずボスを決めて，残りの $n-1$ 人からグループに入る $r-1$ 人を選ぶ．

5.3　同じものを含む順列

$n$ 個の中に同じものがいくつか含まれる場合

　$_n\mbox{C}\,_r$ は $n$ 個がすべて異なっていることが前提であるので，$n$ 個の中に同じものが含まれている場合は注意が必要である．

例題　1,1,2の3つの数を使って3桁の数は何通りできるか．

　2つある1を，$1_a$，$1_b$ と区別する：

　全6通りのうち，2つ$(=2!)$ ずつ同じものがあるから，

$\dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=3$ 通り

　　$n$ 個のうち，$p$ 個の同じもの，$q$ 個の同じもの，$r$ 個の同じものがあり，これらを1列に並べる場合が何通りあるかを考える．まずはどんなに同じに見えるものでも区別して順列を考えると $n!$ 通り．このうち，$p!$ 通りの区別のできないものが含まれる，即ち $n!$ 通りの中には $p!$ 重カウントされているものがあるから $p!$ で割る．同様に $q!$ 重カウント，$r!$ 重カウントになっているものがあるからそれらを割る．

　一般に次が成り立つ：

同じものを含む順列 　$n$ 個のうち，$p$ 個の同じもの，$q$ 個の同じもの，$r$ 個の同じものがるとき，これらを1列に並べる方法は， $$\frac{n!}{p!\,q!\,r!} \ \ \mbox{通り}$$

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