3．三角比の拡張(ノート)
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数学Ⅰ　第2章　三角比

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3．三角比の拡張

0°や90度以上の角にも三角比を定義したい

　直角三角形の直角以外の角に対して三角比 sin, cos, tan は定義された．これらは直角三角形の存在を前提としていたから，当然ながらその角は $0^\circ<\theta<90^\circ$ である．ここではこの角を $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上にまで拡張するのが1つの目的である．しかし直角以外の内角が $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上ではもはや直角三角形を作ることはできない．こういった角に対して三角比を考えるには，直角三角形の存在を前提としていたこれまでの定義そのものを見直さなければならない．ただ見直すといっても例えば $\sin30^\circ=\dfrac12$ や $\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$ といった，これまでの定義で定められた値はそのままにしておきたい．そのままにした上で，$0^\circ$ や $90^\circ$ 以上の角に対して sin, cos, tan の値を定義できるような純然たる拡張を考えるのである．その拡張のアイデアとは一体どのようなものなのだろうか．

3.1　座標を用いた三角比の定義

三角比拡張のアイデア

　冒頭で述べた拡張のアイデアとは，

座標軸を導入し，原点を中心とする半径 $\boldsymbol{r}$ の半円で考える

ことなのである．

　原点Oを中心とする半径 $r$ の円周上に点Pがあり，その座標を $(x,\ y)$ とする．線分OPが $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると，三角比 $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を次のように定義し直す：

　　そしてこの定義を，そのまま $\theta$ が鈍角の場合に対しても適用するのである：

　$\theta=0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ$ のときも同様に定義すると，$0\leqq \theta\leqq180^\circ$ の三角比は次のようになる：

0°から180°までの三角比 　原点Oを中心とする半径 $r$ の円周上にある点をP$(x,\ y)$ とし，OPと $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると， \[\begin{align*} &\sin\theta=\frac yr\\[5pt] &\cos\theta=\frac xr\\[5pt] &\tan\theta=\frac yx \end{align*}\]

従来の三角比との違いは何か

　この定義において，従来の直角三角形を前提としていた三角比の定義からの変更点は次の通りである．

　この変更方法は，直角三角形を存在を前提として定義された値はそのままに，$0^\circ$ や $90^\circ$ 以上の角まで定義できるようなものになっている．実に見事な拡張であるといえる．

例1　$\theta=120^\circ$

　半径2の円を考えると，P$(-1,\sqrt3),\ r=2$より， \[\begin{align*} &\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos120^\circ=\frac{-1}2=-\frac12\\[5pt] &\tan120^\circ=\frac{\sqrt3}{-1}=-{\sqrt3} \end{align*}\]

例2　$\theta=0^\circ$

　半径 $r$ の円を考えると，P$(r,\ 0)$より， \[\begin{align*} &\sin0^\circ=\frac0r=0\\[5pt] &\cos0^\circ=\frac rr=1\\[5pt] &\tan0^\circ=\frac0r=0 \end{align*}\]

例3　$\theta=90^\circ$

　半径 $r$ の円を考えると，P$(0,\ r)$より， \[\begin{align*} &\sin90^\circ=\frac rr=1\\[5pt] &\cos90^\circ=\frac 0r=0\\[5pt] &\tan90^\circ=\frac r0\ \mbox{となるから定義されない} \end{align*}\]

例4　$\theta=180^\circ$

　半径 $r$ の円を考えると，P$(-r, 0)$より， \[\begin{align*} &\sin180^\circ=\frac0r=0\\[5pt] &\cos180^\circ=\frac {-r}r=-1\\[5pt] &\tan180^\circ=\frac0{-r}=0 \end{align*}\]

---

　0° から180° までで，三角比の値が簡単なものをまとめると次のようになる．尚， $\tan90^\circ$ は $\dfrac10$ となってしまうため，値が存在しない．表で「✕」となっているのはそのためである．

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0^\circ & 30^\circ& 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ\\ \hline \sin\theta & 0 & \dfrac12 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \cos\theta & 1 & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac12 & 0\\ \hline \tan\theta & 0 & \dfrac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & \times\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 90^\circ & 120^\circ& 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ\\ \hline \sin\theta & 1 & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac12 & 0\\ \hline \cos\theta & 0 & -\dfrac12 & -\dfrac1{\sqrt2} & -\dfrac{\sqrt3}2 & -1\\ \hline \tan\theta & \times & -\sqrt3 & -1 & -\dfrac1{\sqrt3} & 0\\ \hline \end{array}\]

　この表に与えられた角度以外の三角比の値については，数学Ⅱで学ぶ公式などを利用することで求められるごくわずかな角度を除き，ほとんどの値は計算で正確な値を求めることは困難である．そこでどの教科書にも巻末に近似値の表が掲載されている．

3.2　単位円における三角比

半径1の円で三角比を考える

　原点Oを中心とする半径1の円(単位円)の周上に点Pがあり，線分OP が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ として三角比を考える．

単位円における三角比

単位円における三角比 　原点Oを中心とする半径1の円周上にある点をP$(x,\ y)$ とし，OPと $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると， \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]

　この三角比を単位円で考えるというのは，単に $\sin,\ \cos$ の分母が1になって表現が簡単になるということにとどまらない．最大のメリットは

三角比の視覚化

であるが，このことがどれほどか重要であるかは徐々に明らかになっていくであろう．

三角比がとりうる値の範囲

$\sin\theta,\ \cos\theta$ は取れる値の範囲が限定されている

　三角比を単位円で捉えると，三角比のとりうる値の範囲が視覚的に理解できる．

　点Pが $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲を動くとき，$x,\ y$ のとりうる値の範囲は，

\[\begin{align*} -1\leqq &\ x\leqq 1,\\[5pt] 0\leqq &\ y\leqq 1 \end{align*}\]

　$x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ であったから，

\[\begin{align*} 0\leqq &\ \sin\theta\leqq 1,\\[5pt] -1\leqq &\ \cos\theta\leqq 1 \end{align*}\]

　また，$\tan\theta=\dfrac yx$ はすべての実数値をとり得る．以上より，まとめると次のようになる：

三角比がとりうる値の範囲 　$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，　　　　　　　　　　　
　$0\leqq \ \sin\theta \leqq 1$
$-1\leqq \ \cos\theta\leqq 1$
$\tan\theta$ はすべての実数値をとり得る

三角比の符号

$\sin\theta$ は $y$ 軸と，$\cos\theta$ は $x$ 軸と対応

　三角比の符号も，単位円で考えると視覚的に捉えることができる．

　$\sin$ は $y$ 軸と，$\cos$ は $x$ 軸とそれぞれ関係している．

3.3　180°-θの三角比

三角比の書き換え公式

　θが鋭角のとき

　${\rm P}(x,\ y)$ とし，線分OP が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると，

\[\sin\theta =y ,\ \cos\theta =x,\ \tan\theta=\frac yx\]

　よって，$180^\circ-\theta$ の三角比は点${\rm Q}(-x,\ y)$ を用いて，

\[\begin{align*}&\sin(180^\circ-\theta)=y=\sin\theta\\[5pt] &\cos(180^\circ-\theta)=-x=-\cos\theta\\[5pt] &\tan(180^\circ-\theta)=-\frac yx=-\tan\theta \end{align*}\]

　$\theta$ が90°以上のときも同様に考えると，結果は鋭角の場合と全く同じになる．

$180^\circ-\theta$ の三角比 \[\begin{align*}&\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\\[5pt] &\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\\[5pt] &\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta \end{align*}\]

3.4　等式を満たす $\theta$

単位円を使って目で捉える

例題1　$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\sin\theta=\dfrac12$ を満たす $\theta$ を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$y=\dfrac12$ となる $\theta$ を求めると，$\theta=30^\circ ,\ 150^\circ$

例題2　$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\cos\theta=-\dfrac1{\sqrt2}$ を満たす $\theta$ を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$x=-\dfrac1{\sqrt2}$ となる $\theta$ を求めると，$\theta=135^\circ$

例題3　$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\tan\theta=-\sqrt3$ を満たす $\theta$ を求めよ．

答

　解答例を表示する

　図より，$\theta=120^\circ$

3.5　三角比の相互関係

三角比の定義を拡張したあとでも相互関係は変わらず成立

　図において，$90^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ のとき，

\[x^2+y^2=1\]

が成り立つから，以下の三角比の相互関係が $0^\circ$ や $90^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ でもそのまま成り立つ：

三角比の相互関係
　$0^\circ\leqq\theta \leqq 180^\circ$ のとき，次が成り立つ： \[\begin{align*} &\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[5pt] &\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\[5pt] &1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} \end{align*}\]

例題　$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする．$\cos\theta=-\dfrac34$ のとき，$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$\cos\theta < 0$ であるから，$\theta$ は鈍角．
　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より， \[\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(-\frac34\right)^2=\frac7{16}\] 　$\sin\theta > 0$ であるから，$\boldsymbol{\sin\theta=\dfrac{\sqrt7}4}$
　よって，$\boldsymbol{\tan\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\frac{\sqrt7}4}{-\frac34}\boldsymbol{=-\dfrac{\sqrt7}3}$

次は，4．正弦定理
前は，2．三角比の相互関係

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