高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1.傍心
定理
三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.


3本の角の二等分線が1点で交わる(傍心)
基本事項の確認
角の二等分線 l は,2直線 m,n から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針
・2つの外角の二等分線の交点をとる.
↓
・その交点が,内角の二等分線上にあることを示す.
証明
△ABCにおいて,∠Bの外角の二等分線と∠Cの外角の二等分線との交点を I1 とし,I1 から直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると, I1D=I1E,I1D=I1F ∴I1E=I1F

これは,I1 が ∠A の二等分線上にあることを意味するから,三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

■
補足
すぐ上の図において,
I1D=I1E=I1FI1D⊥BC, I1E⊥CE, I1F⊥BF
であるから,1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する.


傍心を中心とし,図のように接する円(傍接円)が存在する.
この円を傍接円といい,傍接円の中心を傍心という.1つの三角形に対して,傍接円,傍心が3個ずつ存在する.
例題 △ABCの内心をI,3つの傍心を I1, I2, I3 とすると,Iは△I1I2I3 の垂心であることを示せ.
こたえ
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