高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
  重心      
  外心      
  垂心      
  内心      
  傍心      

中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1.傍心

定理
   三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.
アニメーション
3本の角の二等分線が1点で交わる(傍心)
基本事項の確認

 角の二等分線 l は,2直線 m,n から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針

・2つの外角の二等分線の交点をとる.
   ↓
・その交点が,内角の二等分線上にあることを示す.

証明

 △ABCにおいて,Bの外角の二等分線とCの外角の二等分線との交点を I1 とし,I1 から直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると, I1D=I1E,I1D=I1F I1E=I1F

 これは,I1A の二等分線上にあることを意味するから,三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

アニメーション

補足

 すぐ上の図において,

I1D=I1E=I1FI1DBC,  I1ECE,  I1FBF

であるから,1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する.

アニメーション
傍心を中心とし,図のように接する円(傍接円)が存在する.

 この円を傍接円といい,傍接円の中心を傍心という.1つの三角形に対して,傍接円,傍心が3個ずつ存在する.

例題 △ABCの内心をI,3つの傍心を I1, I2, I3 とすると,IはI1I2I3 の垂心であることを示せ.

こたえ

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