三角形の五心 – 垂心(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1．垂心

補足

　定理中の3垂線の交点を垂心という．

証明の方針

・三角形の外側に，各辺とそれぞれ平行となる一回り大きい三角形をかく．
　　　　↓
・定理中の3垂線が，今作った三角形の各辺の垂直二等分線と一致することを示す．
　(3辺の垂直二等分線が1点で交わることは，外心のところで証明済み．)
　　　　↓どうやって示すか？
　図の中にある3つの平行四辺形を利用．
　　平行四辺形の性質
　　　1. 対辺がそれぞれ平行
　　　2. 対辺がそれぞれ等しい

証明

BC//QR，CA//RP，AB//PQ となる図のような△PQRを作る．

　四角形ABCQ，ACBRは平行四辺形であるから， \[{\rm AQ}={\rm BC},\ {\rm AR}={\rm BC}\] \[\therefore {\rm AQ}={\rm AR}\] 　よって，Aは辺QRの中点である．

　ここで，Aから対辺BCに垂線ADを引くと，BC//QRにより \[{\rm AD}\perp {\rm QR}\] 　従って，ADは辺QRの垂直二等分線である．

　同様にして，B，Cから対辺に引いた垂線についても，それぞれ辺RP，PQの垂直二等分線となる．つまり，△ABCにおける3つの垂線は，△PQRにおける垂直二等分線である．

　3辺の垂直二等分線が1点で交わることは外心のところで証明済みであるから，定理中の3垂線も1点で交わる．

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