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高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
  重心      
  外心      
  垂心      
  内心      
  傍心      

中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1.方べきの定理

方べきの定理
 下の図の①~③について,次が成り立つ:
①弦が交点をもつとき
②弦の延長上に交点があるとき
,:4点A,B,C,Dが同一円周上PAPB=PCPD
③Tが円の接点のとき
③:PTが△ABTの外接円の接線
(従ってTは接点)
PAPB=PT2
証明の方針

 三角形の相似を示す.
   ↓
 「対応する辺の比は等しい」を利用.

証明

①,②

①弦が交点をもつとき
②弦の延長上に交点があるとき

 △PAC∽△PDB(∵2角相等)より PA:PD=PC:PB PAPB=PCPD

③Tが円の接点のとき

 △PATと△PTBについて,∠Pは共通,接弦定理 により∠PTA=∠PBTであるから,△PAT∽△PTB (2角相等).よって, PA:PT=PT:PB   PAPB=PT2

2.方べきの定理の逆

方べきの定理の逆
下の図の①~③について,次が成り立つ:
①ABとCDが交点をもつとき
②AB,CDの延長上に交点があるとき
,:PAPB=PCPD4点A,B,C,Dは同一円周上
:PAPB=PT2PTABTの外接円の接線(従ってTは接点)
証明の方針

①と②
 △ABCの外接円と半直線PDの交点D’をとる.
   ↓
 DとD’が一致することを示す.


 三角形の相似を示す.
   ↓
 接弦定理の逆 を利用.

証明

①,②

 △ABCの外接円と半直線PDとの交点をD’とする.

 方べきの定理により

PA PB = PC PD’

 また仮定より

PA PB = PC PD

 従ってPD’=PDであるから,半直線PD上の2点DとD’は一致する.
 よって,4点A,B,C,Dは同一円周上にある.

 △PTAと△PBTにおいて,

∠Pは共通 

 仮定よりPA PB = PT2であるから,

PAPT=PTPB

 よって,

PA:PT = PT:PB 

 ①,②より,△PTA∽△PBT(∵2辺比夾角相等).

 従って∠PTA = ∠PBTとなるから,接弦定理の逆 により,直線PTは円の接線である.

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7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
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