4．メネラウスの定理の逆(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1．メネラウスの定理の逆

証明の流れ

[1]　直線QRと直線BCとの交点P$’$ をとる．
　　　[3点P$’$ ，Q，Rは一直線上]
　　　　↓
[2]　△ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理の式を作る．
　　　　↓
[3]　[2] の式と与えられた式を比較
　　　　↓
[5]　PとP$’$ が一致
つまり，[1]よりP，Q，Rは一直線上にある．

証明

1°　1点Pのみが辺の延長上にあるとき

　直線QR，BCとの交点をP$’$とする．(←流れの[1])
　[3点P$’$ ，Q，Rは一直線上]

　△ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理 により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ．(←流れの[2])

　これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから， \[\rm BP’:P’C=BP:PC\] である．(←流れの[3])

　よって，2点P$’$，Pは共に，線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する．P$’$ は直線QR上に取ったのであるから，3点P，Q，Rは1直線上にある．(←流れの[4])

2°　3点P,Q,Rが円の延長上にあるとき

　※ 1°との違いは図のみ．記述部分は一字一句同じ．

　直線QR，BCとの交点をP$’$とする．(←流れの[1])
　[3点P$’$ ，Q，Rは一直線上]

　△ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理 により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ．(←流れの[2])

　これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから， \[\rm BP’:P’C=BP:PC\] である．(←流れの[3])

　よって，2点P$’$，Pは共に，線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する．P$’$ は直線QR上に取ったのであるから，3点P，Q，Rは1直線上にある．(←流れの[4])

■

補足

「チェバの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である：

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