このページにある内容は，こちらのスライド でわかり易く説明しています．

PC環境なら全画面表示でより見やすく，よりわかりやすい！
全画面表示の仕方は こちら

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      
中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1．チェバの定理の逆

チェバの定理の逆
　△ABCにおいて，直線BC，CA，AB上にそれぞれ点P，Q，Rがあり，このうち1個または3個が辺上の点とする．このとき，BQとCRが交わり，かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば，3直線AP，BQ，CRは1点で交わる．
3点P,Q,Rが△ABCの辺上
1点Pのみが△ABCの辺上

証明の流れ

[1]　BQとCRの交点Oをとる．
　　　　↓
[2]　直線AOとBCの交点 P$’$ をとる．
　　　　↓
[3]　△ABCと3点 P$’$，Q，Rでチェバの定理の式を作る．
　　　　↓
[4]　[3] の式と与えられた式を比較
　　　　↓
[5]　PとP$’$ が一致
　よって直線APはOを通るから，AP，BQ，CRは1点Oで交わる．

証明

1°　3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき

　線分BQとCRの交点をOとする．(←流れの[1])

　直線AOとBCとの交点をP$’$とする．(←流れの [2])

　このときチェバの定理 により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ．(←流れの[3])

これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから，$\rm BP’:P’C=BP:PC$．(←流れの[4])

　P と P$’$ はともに辺BC上にあるから，PとP$’$ が一致する．つまり，直線AP が点Oを通るから，3直線AP，BQ，CR は1点Oで交わる．(←流れの[5])

2°　1点Pのみが△ABC の辺上のとき

　※ 1° との違いは図のみ．記述部分は一字一句同じ．

　線分BQとCRの交点をOとする．(←流れの[1])

　直線AOとBCとの交点をP$’$とする．(←流れの[2])

　このときチェバの定理 により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ．(←流れの[3])

これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから，$\rm BP’:P’C=BP:PC$．(←流れの[4])

　P と P$’$ はともに辺BC上にあるから，PとP$’$ が一致する．つまり，直線AP が点Oを通るから，3直線AP，BQ，CR は1点Oで交わる．(←流れの[5])

■

補足

　メネラウスの定理の逆 との主な違いは次の赤線部分である：

メネラウスの定理の逆
　△ABCにおいて，直線BC，CA，AB上にそれぞれ点P，Q，Rがあり，このうち1個または3個が辺の延長上の点とする．このとき， \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば，3点P，Q，Rは一直線上にある．
　

このページで疑問は解決されましたか？

　こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      
中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]