高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1. チェバの定理 | [無料] | [会員] | |
2. メネラウスの定理 | [無料] | [会員] | |
3. チェバの定理の逆 | [無料] | ||
4. メネラウスの定理の逆 | [会員] | ||
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1. 円周角の定理 | [会員] | ||
2. 円周角の定理の逆 | [会員] |

1.チェバの定理の逆
△ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ BPPC⋅CQQA⋅ARRB=1BPPC⋅CQQA⋅ARRB=1 ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.


証明の流れ
[1] BQとCRの交点Oをとる.
↓
[2] 直線AOとBCの交点 P′ をとる.
↓
[3] △ABCと3点 P′,Q,Rでチェバの定理の式を作る.
↓
[4] [3] の式と与えられた式を比較
↓
[5] PとP′ が一致
よって直線APはOを通るから,AP,BQ,CRは1点Oで交わる.
証明
1° 3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき
線分BQとCRの交点をOとする.(←流れの[1])

直線AOとBCとの交点をP′とする.(←流れの [2])


このときチェバの定理 により
BP′P′C⋅CQQA⋅ARRB=1が成り立つ.(←流れの[3])

これと,与えられた式 BPPC⋅CQQA⋅ARRB=1 を比較すると, BP′P′C=BPPC が成り立つから,BP′:P′C=BP:PC.(←流れの[4])
P と P′ はともに辺BC上にあるから,PとP′ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←流れの[5])
2° 1点Pのみが△ABC の辺上のとき
※ 1° との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.
線分BQとCRの交点をOとする.(←流れの[1])

直線AOとBCとの交点をP′とする.(←流れの[2])


このときチェバの定理 により
BP′P′C⋅CQQA⋅ARRB=1が成り立つ.(←流れの[3])

これと,与えられた式 BPPC⋅CQQA⋅ARRB=1 を比較すると, BP′P′C=BPPC が成り立つから,BP′:P′C=BP:PC.(←流れの[4])
P と P′ はともに辺BC上にあるから,PとP′ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←流れの[5])
補足
メネラウスの定理の逆 との主な違いは次の赤線部分である:
△ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, BPPC⋅CQQA⋅ARRB=1 ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.

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