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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      
中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1．メネラウスの定理

　チェバの定理と非常に内容の似通った定理にメネラウスの定理というものがある．チェバの定理以上に適用範囲が広く，しばしば数学Bで学ぶベクトルではこのメネラウスの定理を使うのが最速の解法だという問題 まである．

　メネラウスの定理は，三角形と1本の直線によってできるいくつかの線分比についての関係を述べたものである．

メネラウスの定理
　△ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき

証明のポイント

　上手い平行線を引き，平行線と線分の比の関係を利用して，比をすべて1つの直線上に寄せてくる．

基本事項の確認

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき，次のような関係が成り立つ．
    【これらの証明はスライド 参照】

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

直線が△ABCの内部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，

\[\rm BP:PC=BR:RD\]

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

　同様にして，

\[\rm CQ:QA=DR:RA\]

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて，

\[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

2°　直線が△ABCの外部を通るとき

　直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

直線が△ABCの外部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，

\[\rm BP:PC=BR:RD\]

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

　同様にして，

\[\rm CQ:QA=DR:RA\]

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて，

\[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

■

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．
  • 加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

定理の内容が理解出来たら，次は演習問題 で理解の確認！

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