8. 群数列(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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8. 群数列

8.1　群数列の解法

　数列をグループ(群)に分けた数列を群数列という．高校数学の問題ではこのグループ分けにもれなく一定の規則がある．群数列にまつわる問題は解法がワンパターンで，あらゆる問題が同じ手法で解けると言っても過言ではない．それほどクセの強い数列が群数列なのである．そしてその手法とは

　群数列の考え方のポイント各群の末項に着目する．
　→　それが最初から何番目の項か調べる．

である．各群の末項が最初から数えて何番目の項かという情報さえ得られれば，仕事の半分以上は終わったも同然である．

例題
　偶数の列を次のように群に分けたとき，第4群の2番目の数を求めよ． \[2\ |\ 4,6,8\ |\ 10,12,13,16,18\ |\ 20,22,24,\cdots\]

答

　第 $k$ 群には $(2k-1)$ 個の項があるから，第 $n$ 群の末項は最初から数えて

\[\begin{align*} 1+3+5+\cdots+(2n-1)&=\sum_{k=1}^n(2k-1)\\[5pt] &=n^2\ \ (\mbox{番目}) \end{align*}\]

　この情報が得られれば，第4群の2番目の数は，第3群の末項の2つあとであるから，最初から数えて $3^2+2=11$ 番目の項であるとわかる．

　与えられた数列(偶数の列)の一般項は $2n$ であるから，求める数は

\[2\times11=\underline{\boldsymbol{22}}\]

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