4. 階差数列(ノート) スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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4. 階差数列

4.1　階差数列とは

　数列の差をとって得られる数列を，元の数列の階差数列という．

例1　$2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 12$
　差をとると，$1,\ 2,\ 3,\ 4$
　　→　階差数列は初項1，公差1の等差数列

例2　$2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47$
　差をとると，$3,\ 6,\ 12,\ 24$
　　→　階差数列は初項3，公比2の等比数列

例3　$2,\ 10,\ 30,\ 68,\ 130,\ 222$
　差をとると，$8,\ 20,\ 38,\ 62,\ 92$
　もう一度差をとると，$12,\ 18,\ 24,\ 30$
　　→　第2階差数列は初項12，公比6の等差数列

補足

　例3のように，複数回にわたって差をとるとき，差をとった順に「第1階差数列，第2階差数列，$\cdots$」という．

4.2　階差数列と一般項

階差数列から元の数列の一般項を求める方法～まずは例

　例として次の数列 $\{a_n\}$ を考えよう．

\[1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\]

　この数列は差が一定でないから等差数列ではない．また隣りどうしの比も一定ではないから等比数列でもない．従ってこの数列の一般項を直ちに求めることは難しい．ところがこの数列の階差数列をとってみると，

\[1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\]

といった具合に初項1，公差2の等差数列となっており，大変なじみやすいものとなっている．この階差数列を $\{b_n\}$ とおくと，一般項は $b_n=2n-1$ であり，

\[\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2\]

というように第 $n$ 項までの和も簡単に計算できる．実は階差数列の和が求まれば，得体の知れぬ元の数列の一般項も求めることができる．その考え方を次に示す．

　例えば $a_4=10$ を考えてみよう．

　$a_4-a_3=b_3$ である．

　同様にして，

\[\begin{align*} a_4-a_3&=b_3\\[5pt] a_3-a_2&=b_2\\[5pt] a_2-a_1&=b_1\\[5pt] \end{align*}\]

　　これらを辺々加えると，左辺は途中で $a_3$ と $a_2$ がキャンセルされて

　よって　$a_4=a_1+(b_1+b_2+b_3)$

　つまり $a_4$ は，$a_1$ に階差数列 $\{b_n\}$ の初項から第3項までの和として求めることができる．これは他の項についても同様である．よって第 $n$ 項の $a_n$ は，$b\geqq2$ のとき

\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+(n-1)^2=n^2-2n+2\]

　これは $n=1$ のときも成り立つ．従って数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることができた．

階差数列から元の数列の一般項を求める方法～次に一般論

　上の例のような考え方を用いると，一般の場合は次のようになる：

\[\begin{align*} a_n-a_{n-1}&=b_{n-1}\\[5pt] a_{n-1}-a_{n-2}&=b_{n-2}\\[5pt] a_{n-2}-a_{n-3}&=b_{n-3}\\[5pt] &\vdots\\[5pt] a_3-a_2&=b_2\\[5pt] a_2-a_1&=b_1\\[5pt] \end{align*}\]

　これらの式を辺々加えると，左辺の $a_{n-1},\ n_{n-2},\ \cdots,\ a_2$ が次々とキャンセルされて，左辺は $a_n$ と $a_1$ だけが残り，右辺は $b_1$ から $b_{n-1}$ までの $n-1$ 項の和となる：

\[\therefore\ a_n=a_1+(b_1+b_2+\cdots +b_{n-1})\]

　よって第 $n$ 項の $a_n$ は，$b\geqq2$ のとき

\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]

となる．

　数列$\{a_n\}$の初項を$a$，階差数列を$\{b_n\}$とすると，$n\geqq 2$ のとき，\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]

補足

$n\geqq2$ の制限について

　一般項を求める式の前に「$n\geqq2$ のとき」という条件が付されているが，この点について説明しておく．

①　$n=1$ のとき，$\displaystyle a_1=a+\sum_{k=1}^0 b_k$ となって，$\sum$ が意味をなさない．

②　$a_1$ の場合が含まれてしまうことがほとんどであるが，もちろんそうでない場合もある．例えば， \[ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}\] という数列の階差数列は \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}\] となるから，$n\geqq2$ のとき， \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[5pt] &=2+(n-2)\\[5pt] &=n \end{align*}\] となる．これは $n=1$ のときを正しく表していない．
　故に，$\underline{\boldsymbol{a_1=2,\ a_n=n\ (n\geqq2)}}$ となる．
　因みに数列$\{a_n\}$ は，場合分けせずに \[a_n=\left|n-\frac32\right|+\frac32\] と書くこともできる．

例題　$2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \cdots$ で表される数列の一般項を求めよ．

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