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高校数学[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

  スライド ノート 問題
1. ベクトルと有向線分 [無料]    
2. ベクトルの演算 [無料]    
3. ベクトルの成分 [無料]    
4. ベクトルの内積 [会員]    
5. 位置ベクトル [会員]    
6. ベクトル方程式 [会員]    
7. 平面ベクトルの応用 [会員]    
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11. 空間の位置ベクトル [会員]    
12. 空間ベクトルの応用 [会員]    
13. 空間のベクトル方程式 [会員]   [会員]

12. 空間ベクトルの応用

12.1 一直線上の3点

3点A,B,Cが一直線上
AC=kAB となる実数 k が存在

12.2 平面上の点

 空間内の一直線上にない3点A,B,Cが与えられると,それら3点を含む平面が存在し,かつそのような平面はただ1つである.この平面を平面ABCという.

 平面上の点Pについては次が重要:

点Pが平面ABC上
AP=sAB+tAC となる実数 s, t が存在

 A((a)B(b)C((c)P((p) とすると,上の式は

(p(a=s(b(a)+t((c(a)

(p=(1st)(a+sb+t(c

 ここで,1st=r とおくと,

(p=r(a+sb+t(c   (r+s+t=1)

 (p がこのように表されるとき,この表し方はただ1通りであり,次が成立:

 A((a),B(b),C((c),P((p) について,(p=r(a+sb+t(c と表されるとき,

点Pが平面ABC上 r+s+t=1

例題 図のような直方体において,DEの延長上に DE=EF となる点Fをとる.直線OFと平面ABCの交点をPとするとき,OPOAOBOC で表せ.

(OF=(OB+(BD+(DF=(OB+(OC+2(OA

 従って,

(OP=k(OF=k((OB+(OC+2(OA)=2k(OA+k(OB+k(OC

 点Pは平面ABC上にあるから,

2k+k+k=1  k=14

 よって,

(OP=12(OA+14(OB+14(OC_

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