7. 平面ベクトルの応用(ノート)
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数学B　第1章　ベクトル

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7．平面ベクトルの応用

　平行でなく，かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を用いて\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\]によって定められる点Pは，実数 $s$ と $t$ を適当に定めることで平面上を自由に動くことができる．
　ここで $s$ と $t$ に $s+t=1$ という制限を加えると，最早 点Pは平面上を自由に動き回ることができない．動くことのできる範囲は直線AB上だけである．そして今，更に $s\geqq 0$ かつ $t\geqq0$ という制限を加えると点Pの動ける範囲はどうなるであろうか．それを以下でみていこう．

7.1　線分上の点の存在範囲

点が線分上にあるための条件

　直線AB上の点Pは $\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ と表される．ここで

Pが線分AB上 $\iff 0\leqq t\leqq 1$

となることが，下のアニメーションからわかる：

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$ とおくと，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a},\ \overrightarrow{\mathstrut b},\ \overrightarrow{\mathstrut p}$ で表して

点Pが線分AB上にある$\hspace{20mm}$ \[\begin{align*} \iff&\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (0\leqq t\leqq 1) \end{align*}\]

　ここで，$1-t=s\ (\iff s+t=1)$ とおくと，

\[\begin{align*} & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (\underline{s+t=1,0\leqq t\leqq1}_{\mbox{①}})\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (\underline{s+t=1,s\geqq0,t\geqq0}_{\mbox{②}}) \end{align*}\]

※　①と②は全く同じ条件を指しているが，この言い換えはグラフで考えると理解しやすい．詳しくはスライド 参照

　これが，点Pが線分AB上にある条件である．

まとめ点Pが線分AB上 $\iff \overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{OB}}$
$\hspace{50mm}(s+t=1,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$

　この結果は次節にある，点が三角形の内部にある条件で用いられる．

補足

線分の両端を含まない場合

　点Pが線分AB上にあり，かつ線分の両端であるAとBを含まない場合は，上のアニメーションから $0<t<1$ となるから

$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{OB}}$
$\hspace{50mm}(s+t=1,\ s> 0,\ t> 0)$

となる．

7.2　三角形の内部を表すベクトル

まずは例から

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ (…①) において，$s+t=2$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ で表される点Pを考えよう．私たちが先に学習したのは係数の和が1，すなわち $s+t=1$ の場合であって，$s+t=2$ の場合についてはまだ知識がない．しかし今，$s+t=2$ の両辺を2で割って

$\dfrac s2+\dfrac t2=1$

というように右辺を1にしてやると，$\dfrac s2$ と $\dfrac t2$ の和が1であることがわかる．そこで①を変形して

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\dfrac s2\cdot 2\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac t2\cdot 2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\]

という具合に無理に $\dfrac s2$ や $\dfrac t2$ を作り出して，$2\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}$，$2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}$ とおくと

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\dfrac s2\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac t2\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm AE}\]

となり，しかも $\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}$ の係数の和が１となっている．するとこのときにはPの位置を前節の結論から捉えることができて，点Pは線分 $\rm DE$ 上にあることがわかる．

点が三角形の内部にあるための条件

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ (ただし，$s+t=k$，$s> 0$，$t> 0$)で表される点Pを考えよう．

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\frac sk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac tk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\] \[\left(\frac sk+\frac tk=1,\ \frac sk>0,\ \frac tk>0\right)\]

であるから，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB\,’}$，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AC\,’}$ となる点 $\rm B\,’,\ C\,’$ をとると，Pは線分 $\rm B\,’C\,’$ 上にある．(ただし線分の両端の2点を除く．)
　そこで今，$0 < k < 1$ の範囲で $k$ を動かすと，Pは△ABCの内部にあることがわかる．

点が三角形の内部だけでなく周上にもあるための条件

　Pが△ABCの周上にもあるときは，上の条件のすべての不等号の下に等号(=)がつく：

証明

　$s+t=k$ とおく．$s\geqq0,\ t\geqq0$ より $0\leqq k\leqq1$ である．

　$k=0$ のときは，$s=t=0$ であるから，このとき $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm 0}$，すなわちPはAと重なる．

　$k\neq0$ のときは，$s+t=k$ の両辺を $k$ で割ると，

\[\frac sk+\frac tk=1,\ \ \frac sk\geqq 0,\ \ \frac tk\geqq0\]

　よって点Pは，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB\,’}$，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AC\,’}$ となる点 $\rm B\,’,\ C\,’$ をとると，(今度は両端を含む)線分 $\rm B\,’C\,’$ 上にある．
　ここで $k$ を $0<k\leqq 1$ の範囲で動かすと，PはAを除く△ABCの周及び内部にあることがわかる．ただし，除いたAも条件を満たす点であったから，結局点Pは△ABCの周及び内部を漏れなく動きうる．

■

例題　△OABにおいて，$\overrightarrow{\rm{OP}}\!=\!s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s+t\leqq\dfrac12,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$を満たす点Pは，どのような図形上にあるか．

答

　解答例を表示する

　$0<k\leqq\dfrac12$ なる $k$ を1つ固定し，$s+t=k$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ で考える．
　$\dfrac sk+\dfrac tk=1$ より，

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=\frac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=s’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}+t’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}\\[5pt] &(s’+t’=1,\ s’\geqq 0,\ t’\geqq 0) \end{align*}\]

　ただし，A$’$，B$’$ は $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を満たす点である．
　この結果により，Pは線分 $\rm A\,’B\,’$ 上を動くことがわかる．
　ここで，固定していた $k$ を $0 < k\leqq \dfrac12$ で動かし，また $k=0$ のとき，PはOと一致するから，Pの存在領域は，辺OA，OBの中点をそれぞれM，Nとすると，△OMNの周及び内部である．

7.3　2直線の交点を表すベクトル（3つの解法）

交点のベクトルを求める3つの方法

　次の例題は教科書に必ずといってよいほど登場しているものであるが，その解法については大抵1通りしか掲載されていない．次の「答その1」がそれだ．しかしこの問題には他にもいくつかの解法があり，加えて「答その1」よりも「答その2」が，「答その2」よりも「答その3」が，よりスピーディーに解ける方法となっている．

答その1

負担は大きいが共通テストでの誘導はこれ

　解法のポイント
　$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく，平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ について， \[\begin{align*} s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}&=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \iff s=s’,\ &\ t=t’ \end{align*}\]

　解答例を表示する

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ を2通りに表し，係数比較．

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\left\{\begin{array}{l} (1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\dfrac23t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{array}\right.\]

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$，かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ は平行ではないから，

\[\left\{ \begin{array}{l} 1-s=\dfrac23t\\[5pt] \dfrac s2=1-t \end{array} \right.\]

　これを解いて，$s=\dfrac12$，$t=\dfrac34$．
　よって，$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その2

答その1の方法から連立方程式を解く作業が免除される

　解法のポイント
　Pが直線AB上
　$\iff \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\ \ (s+t=1)$

　解答例を表示する

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=(1-s)\frac32\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\frac32(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{align*}\]

　PはCD上にもあるから，

\[\frac32(1-s)+\frac s2=1\ \ \therefore s=\frac12\]

　よって，$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その3

負担小。解法に指定がなければこれが最速

　解法のポイント
　　メネラウスの定理を利用

※メネラウスの定理についてはこちら

　解答例を表示する

　△ADCと直線BEについてメネラウスの定理により，

\[\begin{align*} \frac{\rm AB}{\rm BD}\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CE}{\rm EA}&=1\\[5pt] \therefore \frac31\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac11&=1\\[5pt] \therefore \frac{\rm DP}{\rm PC}&=\frac13\\[5pt] \therefore {\rm DP}:{\rm PC}&=1:3 \end{align*}\]

　よって，

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=\frac{3\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}{1+3}\\[5pt] &=\frac34\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}} \end{align*}\]

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