4. 対数関数(ノート)
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数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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4．対数関数

4.1　対数関数

　$a$ が底の条件，すなわち正であって1でない数であるとき，$y=a^x$ は $x$ の値が1つ決まればそれに応じて $y$ の値がただ1つ決まった．つまり $y$ は $x$ の関数である．大事なことはこの対応が1対1であるということだ．

$y=a^x$ の $x$ と $y$ は1対1対応

　よって先に $y$ の値を決めても，その値に応じて $x$ の値はただ1つ定まるのであるから「$x$ は」$y$ の関数である．この性質は指数関数の単調性によっている．

例　$y=2^x$

　$x=0$ のとき $y=1$．逆に $y=1$ のとき $x=0$．
　$x=1$ のとき $y=2$．逆に $y=2$ となる $x=1$．
　$x=2$ のとき $y=4$．逆に $y=4$ となる $x=2$．
　　　　$\vdots$

　任意の正の実数 $y$ に対して，$y=a^x$ を満たす $x$ を $\log_ay$ と書き表した．つまり $x=\log_ay$ である．しかし数学では通常先に決める方の文字を $x$，それに伴って決まる数を $y$ とすることが多いので，

\[y=\log_ax\]

と書き表すのである．

4.2　対数関数のグラフ

　対数関数 $y=\log_ax$ のグラフはどのようになっているのであろうか．対数の値がわかり易い $x$ の値でいくつか調べたものを表にまとめて、それら $(x,y)$ の組を座標平面に書き入れて滑らかに連結してみよう．

例1　$y=\log_2x$

例2　$y=\log_{\frac12}x$

　底が，$2$ と $\dfrac12$ の2つだけを調べたが，共通点と相違点は何であろうか．

底の違いによる共通点と相違点

　上の2つのグラフについて，共通点4つと相違点1つを確認しておく．

共通点

• $y$ 軸の右側にある
  つまり $\boldsymbol{x}$ は正の値しかとらない．一方，$\boldsymbol{y}$ は実数全体をとっている
• 点 (1, 0) を通っている．
• $y$ 軸にどんどん近付いている．
  このように遠いところにおいて限りなく近付いていく直線を漸近線という．2つのグラフは共に $\boldsymbol{y}$ 軸が漸近線である．
• 2つのグラフは合同である．実際，一方を $x$ 軸に関して対称移動すると他方に移る．

相違点

　$y=\log_2x$ は右上がり，$y=\log_{\frac12}x$ は右下がりである．これは決定的で重要な相違点である．この違いを生じさせる $a$ の値の範囲はどうなっているのか？それは

$a>1$　と　$0<a<1$

である．底である $a$ の値がどちらの範囲に入っている値かによって，グラフの形，すなわち関数の特徴が決定付けられるのである．

　上の考察のうちのいくつかは次の節で再び確認することになるが，グラフの形や通る点についてまとめると次のようになる．

対数関数と指数関数のグラフの関係

　次に，対数関数と指数関数のグラフの関係を確認していこう．

　例として $y=2^x$ を考える．例えば点$(3, 8)$ はこの指数関数のグラフ上の点だが，$x$ 座標と $y$ 座標を入れ替えた点 $(8, 3)$ は対数関数 $y=\log_2x$ のグラフ上の点である．これは何も点 $(3,8)$ に限ったことではなく，指数関数 $y=2^x$ のグラフ上のあらゆる点 $(a,b)$ について，その $x$ 座標と $y$ 座標を入れ替えた点 $(b, a)$ は対数関数 $y=\log_2x$ のグラフ上の点である．すなわち

　　点 $(a,b)$ が指数関数 $y=2^x$ のグラフ上の点
$\iff$ 点 $(b,a)$ が対数関数 $y=\log_2x$ のグラフ上の点

が成り立つ．この考察から，指数関数のグラフと対数関数のグラフは直線 $y=x$ に関して対称であることがわかる．

4.3　対数関数の性質

　すぐ上で見たように，対数関数 $y=\log_ax$ のグラフにより，次のことがわかる：

補足

　[2]により，

が成り立つ．（対数方程式で利用．）

例題1　$\log_5\sqrt{10}$ と $\log_53$ の大小関係を調べよ．

こたえ

　解答例を表示する

　底の5が1より大きく，$\sqrt{10} > 3(=\sqrt 9)$ により， \[\underline{\boldsymbol{\log_5\sqrt{10} > \log_5 3}}\]

例題2　$\log_3x+\log_3(x-8)=2$ を解け．

こたえ

　解答例を表示する

　真数条件より，

$x > 0$ かつ $x-8 > 0\ \ \therefore x > 8\ \ \ \cdots$ ①

　この条件の下で与式を変形して， \[\begin{align*} \log_3 x(x-8)&=2\\[5pt] \therefore x(x-8)&=3^2\\[5pt] x^2-8x-9&=0\\[5pt] (x+1)(x-9)&=0 \end{align*}\] 　従って①より，$\underline{\boldsymbol{x=9}}$．

例題3　$\log_{\frac13}(x-1)>-1$ を解け．

こたえ

　解答例を表示する

　真数条件より，$x-1 > 0\ \ \therefore x > 1\ \ \cdots$ ①
　この条件の下で与式を変形して， \[\begin{align*} \log_{\frac13}(x-1)& > -1\times\log_{\frac13}\frac13\\[5pt] \log_{\frac13}(x-1)& > \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1} \end{align*}\] 　底の $\dfrac13$ が1より小さいから，不等号の向きが逆転して， \[\begin{align*} x-1 & < \left(\frac13\right)^{-1}\\[5pt] x-1 & < 3\\[5pt] \therefore x & < 4 \end{align*}\] 　従って①とから，$\underline{\boldsymbol{1< x < 4}}$．

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