11．定積分の応用(体積)【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第3章　積分法

演習問題

解答

(1)　

連立不等式が表す図形は長方形である．図のように横の長さは $2\sqrt{1-t^2}$ で，縦の長さは $0\leqq t\leqq\dfrac12$ と $\dfrac12\leqq t\leqq 1$ で場合分けが生じる．

1°　$0\leqq t\leqq\dfrac12$ のとき

　縦の長さが $2t$ となるから

$$S(t)=2t\times2\sqrt{1-t^2}=4t\sqrt{1-t^2}$$

2°　$\dfrac12\leqq t\leqq1$ のとき

　縦の長さが $-2t+2$ となるから

$$S(t)=(-2t+2)\times2\sqrt{1-t^2}=4(1-t)\sqrt{1-t^2}$$

　以上により

$$S(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 4t\sqrt{1-t^2}&\left(0\leqq t\leqq\dfrac12\right)\\[5pt] 4(1-t)\sqrt{1-t^2}&\left(\dfrac12\leqq t\leqq1\right) \end{array}\right.$$

(2)　(1)の結果から

$$\begin{align*} V&=\int_0^1S(t)\,dt\\[5pt] &=4\left(\underline{\int_0^{\frac12}t\sqrt{1-t^2}\,dt}_{\mbox{①}}+\underline{\int_{\frac12}^1 (1-t)\sqrt{1-t^2}\,dt}_{\mbox{②}}\right) \end{align*}$$

　ここで

①$=\left[-\dfrac13(1-t^2)^{\frac32}\right]_0^{\frac12}=-\dfrac13\left(\dfrac34\right)^{\frac32}+\dfrac13=\dfrac13-\dfrac{\sqrt3}8$

$$\begin{align*} \mbox{②}&=\int_{\frac12}^1\sqrt{1-t^2}\,dt-\int_{\frac12}^1 t\sqrt{1-t^2}\,dt\\[5pt] &=\underline{\dfrac12\cdot 1^2\cdot\dfrac\pi3-\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}2}_\mbox{③}+\left[\dfrac13(1-t^2)^{\frac32}\right]_{\frac12}^1\\[5pt] &=\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}8-\dfrac13\left(\dfrac34\right)^{\frac32}\\[5pt] &=\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}4 \end{align*}$$

　よって求める体積 $V$ は

※②の第1項の定積分 $\displaystyle\int_{\frac12}^1\sqrt{1-t^2}\,dt$は，下図の斜線部分の面積と等しいから，③のように半径1，中心角 $\dfrac\pi3$ の扇形から直角三角形の面積を引くことで求めた．(詳しくは 10．定積分の応用(面積) 参照)