3. 順列(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

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3．順列

3.1　順列

　異なる $n$ 個のものから $r$ 個選び，それらを1列に並べる順列の総数は，

　先頭の選び方が $n$ 通り
　2番目の選び方が $(n-1)$ 通り
　3番目の選び方が $(n-2)$ 通り
　　$\vdots$
　$r$ 番目の選び方が $(n-r+1)$ 通り

となるから，

$n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-r+1)$ 通り

である．この式を

\[_n{\rm P}_r\]

と記号化する：

順列\[_n\mbox{P}_r\!=\!n(n\!-\!1)(n\!-\!2)\times\,\cdots\,\times(n\!-\!r\!+\!1)\]

補足

「P」は英語で順列を意味する Permutation の頭文字である．

例題　1,2,3,4から異なる2つを選んで1列に並べる方法は何通りあるか．

こたえ

$_4{\rm P}_2=4\times 3=12$ 通り

補足

　樹形図を見れば，求める順列の総数を $4\times3$ で数えられることがよくわかる．すなわち最初の枝が4本，そのどの枝からも3本ずつ枝が出ているから，最後の枝は12本ある．

3.2　階乗

　$_n{\rm P}_r$ において，特に $r=n$ のとき，すなわち異なる $n$ 個のものを1列に並べる順列の総数は， \[_n{\rm P}_n=n\!\times\!(n\!-\!1)\!\times\!(n\!-\!2)\!\times\!\cdots\!\times\!2\!\times\!1\] である．右辺を $\boldsymbol n$ の階乗といい， \[n\,!\] で表す．また， $n=0$ の場合は特別に\[0\,!=1\] と定める(定義する)．

階乗 \[n\,!=\!n(n\!-\!1)(n\!-\!2)\times\,\cdots\,\times2\cdot 1\] 　　特に， \[0\,!=1\]

例題　1,2,3 の3つの数を1列に並べて得られる3桁の数は何個あるか．

こたえ

$3\,!=3\times2\times1=6$ 個

補足

　最初の枝が3本，そのそれぞれから2本ずつ，そして更にその枝から1本ずつ出ている．

$_n$P$_r$ を階乗で表す

\[\begin{align*} _n{\rm P}_r&=n(n\!-\!1)\!\times\!\cdots\!\times\!(n\!-\!r\!+\!1)\\[5pt] &=\frac{n(n\!-\!1)\!\times\!\cdots\!\times\!(n\!-\!r\!+\!1)\cdot\boldsymbol{(n-r)\times\cdots\times2\times1}}{\boldsymbol{(n-r)\times\cdots\times2\times1}}\\[5pt] &=\frac{n!}{(n-r)!} \end{align*}\] \[\therefore\ \ _n{\rm P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}\] 　この式が $r=0$ でも成り立つように， \[_n{\rm P}_0=1\] と定める．

順列 \[_n\mbox{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}\] 　　特に， \[_n\mbox{P}_0=1\]

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