6. 2次不等式とグラフ(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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6.　2次不等式とグラフ

6.1　2次不等式

2次不等式は2次関数のグラフから考えるのが基本

例　$y=x^2-2x-3\,[\,=(x+1)(x-3)\,]$

　グラフより，

　$y>0$ すなわち $x^2-2x-3>0\iff x<-1,\ 3<x$
　$y<0$ すなわち $x^2-2x-3<0\iff -1<x<3$

　一般に次が成り立つ：

　$a\!>\!0$とする．2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が異なる2つの実数解 $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ をもつとき，\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!\alpha,\beta\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は}\ x\!\leqq\!\alpha,\beta\!\leqq\! x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!<\!x\!<\!\beta\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!\leqq\!x\!\leqq\!\beta \end{align*}

補足

　$a <0$ のときは，両辺に $-1$ を掛けて，$x^2$ の係数を正にしてから考えるとよい．これはつまらないケアレスミスを防ぐためである．
(このとき不等号の向きが変わるので注意．)

6.2　放物線が $x$ 軸に接する場合

グラフを使って目で考えるのが基本

　例として，2次関数 $y=x^2-2x+1$ を考えると， $y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ により，グラフは $x$ 軸に $x=1$ で接する下に凸な放物線である．よって，

　$x^2-2x+1>0$ の解は，$x<1,\ 1<x$
　$x^2-2x+1\geqq0$ の解は，すべての実数
　$x^2-2x+1<0$ の解は，なし
　$x^2-2x+1\leqq0$ の解は，$x=1$ (等式！)

※4番目の例では不等式の解が等式となっていることに注意．

　$a\!>\!0$とする．2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が $p$ を重解にもつとき，\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!p,p\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ x=p\end{align*}

6.3　放物線が $x$ 軸と共有点をもたない場合

ここでもグラフを使って目で考えるのが基本

　例として，2次関数 $y=x^2-2x+2$ を考えると， $y\!=\!x^2\!-\!2x\!+\!2\!=\!(x\!-\!1)^2\!+\!1$ となるから，グラフは $x$ 軸より上側にある下に凸な放物線である．よって，

　$x^2-2x+2>0$ の解は，すべての実数
　$x^2-2x+2\geqq0$ の解は，すべての実数
　$x^2-2x+2<0$ の解は，なし
　$x^2-2x+2\leqq0$ の解は，なし

　$a\!>\!0$ とする．2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が 実数解をもたないとき，\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は なし}\end{align*}

非常によくある間違い

数学Ⅱで複素数を習ったあとにしばしばみられる誤答

問題　$x^2-2x+2<0$ を解け．

誤答　$x^2-2x+2=0$ を解くと，解の公式から $x=1\pm i$．よって

$1-i<x<1+i\ \ \cdots$ (答)

　そもそも虚数に大小の概念はない．($2i<3i$ などは正しくない．)　2次不等式を考える際には常に2次関数のグラフとリンクさせて考えると間違いが少ない．

次は，7．2次方程式の解の配置
前は，5．2次関数のグラフと方程式

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※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです．