vol.6 記数法のこたえ
演習問題1
(1) $(3102)_5$は，大きい位から順に，
- $\,(3102)_5$の左から1番目の3は，$5^3\,$が3個あるという意味である．
- $\,(3102)_5$の左から2番目の1は，$5^2\,$が1個あるという意味である．
- $\,(3102)_5$の左から3番目の0は，$5^1\,$が0個あるという意味である．
- $\,(3102)_5$の左から4番目の2は，$5^0\,$が2個あるという意味である．
ということを表していますから， \[\begin{align*} (3102)_5 &=3\times5^3+1\times5^2+0\times5^1+2\times5^0\\ &= 3\times125+1\times25+0\times5+2\times1\\ &= 375+25+0+2\\ &= 402\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
(2) (1)と同様に，
- $\,(123)_{12}$の左から1番目の1は，$12^2\,$が1個あるという意味である．
- $\,(123)_{12}$の左から2番目の2は，$12^1\,$が2個あるという意味である．
- $\,(123)_{12}$の左から3番目の3は，$12^0\,$が3個あるという意味である．
ということを表していますから， \[\begin{align*} (123)_{12} &=1\times12^2+2\times12^1+3\times12^0\\ &= 1\times144+2\times12+3\times1\\ &= 144+24+3\\ &= 171\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
演習問題2
(1) 5進法で表したいわけですから，ひたすら5で割ります． \[\begin{align*} & 5\underline{ )\ 402\ }\\ & 5\underline{ )\ \ \ 80\ }\cdots\ 2\\ & 5\underline{ )\ \ \ 16\ }\cdots\ 0\\ & \hspace{9mm} 3\ \cdots\ 1\\ \end{align*}\] よって，最後の商の3も含めて下から順に余りを拾い上げると， \[(402)_{10} = (3102)_5\ \cdots(答) \]
(2) 今度は12進法ですから，12で割っていきます． \[\begin{align*} & 12\underline{ )\ 171\ }\\ & 12\underline{ )\ \ \ 14\ }\cdots\ 3\\ & \hspace{11mm} 1\ \cdots\ 2\\ \end{align*}\] よって，最後の商の1も含めて下から順に余りを拾い上げると， \[(171)_{10} = (123)_{12}\ \cdots(\mbox{答}) \]
演習問題3
(1)まずは，$4^0$の位から． \[ 2+2=4 \] よって，4のまとまりが1つ取れますから， \[4-4=0 \] を下に書いておきます．そして1つ繰り上げておきます． \[\begin{align*} & 302 \\ +) & 212\\ \hline &\ \ ^10 \end{align*}\] 次の$\,4^1$の位は， \[ 0+1+1=2 \] ここから4のかたまりは取れませんから，そのまま下に書きます． \[\begin{align*} & 302 \\ +) & 212\\ \hline &\ \ 20 \end{align*}\] $4^2$の位は， \[\begin{gather*} 3+2=5\\ \therefore 5-4=1 \end{gather*}\] よって， \[\begin{align*} &\ \ 302 \\ +) &\ \ 212\\ \hline & 1120 \end{align*}\] 以上より， \[(302)_4+(212)_4=(1120)_4\ \cdots(\mbox{答}) \]
(2) $9^0$は繰り下がりも何もないので，普通に計算して， \[\begin{align*} & 466 \\ -) & 285\\ \hline &\ \ \ \ 1 \end{align*}\] 次に，$9^1$の位は，$9^2$の位から1つ借りてきます．このとき，9進法ですから，9だけ借りてきたことになります． \[ (9+6)-8=7 \] よって， \[\begin{align*} & 466 \\ -) & 285\\ \hline &\ \ 71 \end{align*}\] 最後に$\,9^2$の位です．先程1を貸してあげたことに注意すると， \[ (4-1)-2=1 \] 故に， \[\begin{align*} & 466 \\ -) & 285\\ \hline & 171 \end{align*}\] 以上より， \[(466)_9-(285)_9=(171)_9\ \cdots(\mbox{答}) \]
(3) 一方が2進法で，もう一方が3進法ですから，いったん両方とも10進法に変換してから掛け算を行います． \[\begin{align*} (1011)_2 &= 1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0\\ &= 1\times8+0\times4+1\times2+1\times1\\ &= 8+0+2+1\\ &= 11 \end{align*}\] また， \[\begin{align*} (2022)_3 &= 2\times3^3+0\times3^2+2\times3^1+2\times3^0\\ &= 2\times27+0\times9+2\times3+2\times1\\ &= 54+0+6+2\\ &= 62 \end{align*}\] よって， \[\begin{align*} (1011)_2\times(2022)_3 &= (11)_{10}\times(62)_{10}\\ &= (682)_{10}\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
(4) 2進法どうしの掛け算です．両方とも10進数に変換してから掛けても構いませんが，2進法の掛け算は，10進法の掛け算と全く同様にできます． \[\begin{align*} &\hspace{6mm}1101 \\ \times) &\hspace{8mm}101\\ \hline &\hspace{6mm}1101\\ &\hspace{2mm}11010\\ \hline & 1000001\ \ \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]