8．群数列【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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1. 等差数列	[会員]
2. 等比数列	[会員]
3. Σ(シグマ)と和の公式	[会員]
4. 階差数列	[会員]
5. 数列の和と一般項	[会員]
6. 差をとってできる数列の応用	[会員]
7. (等差)×(等比)の和	[会員]
8. 群数列	[会員]		[会員]
9. 隣接2項間漸化式(その1)	[会員]		[会員]
10. 隣接2項間漸化式(その2)	[会員]
11. 隣接3項間漸化式	[会員]		[会員]

演習問題

解答

(1)　$n\geqq2$ のとき，第 $n$ 群の初項は第 $n-1$ 群の末項の次の項であると捉えると，第 $n$ 群の初項はから最初から数えて

$(n-1)^2+1=n^2-2n+2$ (番目)

の項である．( $n=1$ のときもこれでよい．)

　与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると，一般項は $a_n=2n$ となるから第 $n$ 群の初項は，

$a_{n^2-2n+2}=\underline{2(n^2-2n+2)}$

(2)　第 $n$ 群は，初項 $2(n^2-2n+2)$，末項 $n^2$，項数 $2n-1$ の等差数列であるから，等差数列の和の公式により

$$\begin{align*} (\mbox{求値})&=\dfrac12(2n-1)\{(2(n^2-2n+2)+n^2\}\\[5pt] &=\underline{\dfrac12(2n-1)(3n^2-4n+4)} \end{align*}$$

(3)　第9群の末項は $9^2=81$ 番目の項であるから

$$a_{81}=2\cdot81=162$$

　第10群の4番目の数は162の4つあとの偶数であるから $\underline{170}$．

(4)　$a_n=2n=1000$ を解くと $n=500$ であるから，1000は第500項である． $n^2\leqq500$ 満たす最大の自然数 $n$ は $22^2=484$，$23^2=529$ より22．よって第1000項は第23群の16番目の項である．

解答

(1)　「$m$ 回目の $n$」について，$n$ は第 $n$ 群の先頭に初めて現れ，その後 $m$ 回目に現れるのは第 $m+n-1$ 群の後ろから $n$ 番目である．後ろから $n$ 番目のというのはその群の先頭から $(m+n-1)-(n-1)=m$ 番目である．そしてこれを「第 $(m+m-2)$ 群の末項の $m$ 個後ろの項である」と捉える．