| スライド | ノート | 問題 | |
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| 3. Σ(シグマ)と和の公式 | [無料] | ||
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| 5. 数列の和と一般項 | [会員] | ||
| 6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和 | [会員] | ||
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演習問題
問題１【基本】
$2\,|\,4,6,8\,|\,10,12,14,16,18\,|\,20,22,24,\cdots$ のように偶数の列を，順に1個，3個，5個，$\cdots$ の群に分ける．
(1) 第 $n$ 群の初項を求めよ．
(2) 第 $n$ 群の数の和を求めよ．
(3) 第10群の4番目の数を求めよ．
(4) 1000は第何群の何番目の数か．
問題２【標準】
数列 $1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,\cdots$ において次の各問いに答えよ．
(1) $m$ 回目の $n$ は初項から数えて何番目に現れるか．
(2) 第100項を求めよ．
問題３【標準】
数列 $\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\cdots$ において次の各問いに答えよ．
(1) $\dfrac5{13}$ は第何項か．
(2) 第100項を求めよ．
第 $k$ 群には $2k-1$ 個の項がありますから，第 $k$ 群の末項は最初から数えて
$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$ (番目)
の項です．このように群数列の問題では
各群の末項に着目する
というのが定石です．
解答
(1) $n\geqq2$ のとき，第 $n$ 群の初項は第 $n-1$ 群の末項の次の項であると捉えると，第 $n$ 群の初項はから最初から数えて
$(n-1)^2+1=n^2-2n+2$ (番目)
の項である．( $n=1$ のときもこれでよい．)
与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると，一般項は $a_n=2n$ となるから第 $n$ 群の初項は，
$a_{n^2-2n+2}=\underline{2(n^2-2n+2)}$
(2) 第 $n$ 群は，初項 $2(n^2-2n+2)$，末項 $n^2$，項数 $2n-1$ の等差数列であるから，等差数列の和の公式により
\[\begin{align*}
(\mbox{求値})&=\dfrac12(2n-1)\{(2(n^2-2n+2)+n^2\}\\[5pt]
&=\underline{\dfrac12(2n-1)(3n^2-4n+4)}
\end{align*}\]
(3) 第9群の末項は $9^2=81$ 番目の項であるから
\[a_{81}=2\cdot81=162\]
第10群の4番目の数は162の4つあとの偶数であるから $\underline{170}$．
(4) $a_n=2n=1000$ を解くと $n=500$ であるから，1000は第500項である． $n^2\leqq500$ 満たす最大の自然数 $n$ は $22^2=484$，$23^2=529$ より22．よって第1000項は第23群の16番目の項である．
与えられた数列を
$1\,|\,2,1\,|\,3,2,1\,|\,4,3,2,1\,|\,5,\cdots$
というように群に分けると，第 $k$ 群には $k$ 個の項があるから第 $k$ 群の末項は最初から数えて
$1+2+\cdots+k=\dfrac12k(k+1)$ (番目)
の項となります．
解答
(1) 「$m$ 回目の $n$」について，$n$ は第 $n$ 群の先頭に初めて現れ，その後 $m$ 回目に現れるのは第 $m+n-1$ 群の後ろから $n$ 番目である．後ろから $n$ 番目のというのはその群の先頭から $(m+n-1)-(n-1)=m$ 番目である．そしてこれを「第 $(m+m-2)$ 群の末項の $m$ 個後ろの項である」と捉える．