高校数学[総目次]
第6章 微分法・積分法
演習問題
問題1【基本】
曲線 y=ax3+bx2+cx+d が点 (0,−1) で直線 y=−5x−1 に接し,点 (−1,1) で直線 y=2x+3 に接している.定数 a,b,c,d の値を求めよ.
問題2【標準】
2曲線 y=x2, y=−(x+2)2 の両方に接する直線の方程式を求めよ.
問題3【標準】
曲線 y=x3 の上の点で,原点以外の点Pにおける接線が,x 軸,y 軸及び再びこの曲線と交わる点をそれぞれQ,R,Sとするとき,QR:RSを求めよ.
問題4【標準】
曲線 y=x3−3x2 の接線のうち,この曲線と接点以外の共有点をもたないものの方程式を求めよ.
問題5【標準】
2曲線 y=x2−2, y=x2+ax+3 の交点におけるそれぞれの曲線の接線が直交するとき,定数 a の値を求めよ.
問題6【発展】
関数 y=x4−3x2+2x のグラフ上の異なる2点で接する接線の方程式を求めよ.
曲線 y=ax3+bx2+cx+d が点 (0,−1) で直線 y=−5x−1 に接し,点 (−1,1) で直線 y=2x+3 に接している.定数 a,b,c,d の値を求めよ.
x=p で接するときはf(p)=g(p), f′(p)=g′(p)の言い換えが定石です.
解答
f(x)=ax3+bx2+cx+d とおくと,f′(x)=3ax2+2bx+c.
点 (0,−1) で直線 y=−5x−1 に接するから
f(0)=−1, f′(0)=−5
∴d=−1, c=−5
点 (−1,1) で直線 y=2x+3 に接するから
f(−1)=1, f′(−1)=2
∴−a+b−c+d=1, 3a−2b+c=2
c=−5, d=−1 を代入して
−a+b+5−1=1, 3a−2b−5=2
これを解いて,a=1, b=−2.
以上により a=1, b−2, c=−5, d=−1.
2曲線 y=x2, y=−(x+2)2 の両方に接する直線の方程式を求めよ.
2つの解法があります.
解答
解法1
一方の接線の方程式を作る→連立して重解条件
曲線 y=x2 上の点 (p,p2) における接線の方程式は
y=2p(x−p)+p2
∴ y=2px−p2 ⋯ ①
これが曲線 y=−(x+2)2 に接するとき,y を消去した x の2次方程式 2px−p2=−(x+2)2 すなわち
x2+2(p+2)x−p2+4=0
が重解をもつから
(判別式)/4=(p+2)2−(−p2+4)=0
整理して p(p+2)=0 ∴p=0,−2.
よって,共通接線の方程式は①より
y=0 と y=−4x−4
解法2
それぞれの接線の方程式を作る→係数比較
曲線 y=x2 上の点 (p,p2) における接線の方程式は
y=2p(x−p)+p2
∴ y=2px−p2 ⋯ ①
同様に曲線 y=−(x+2)2=−x2−4x−4 上の点 (q,−(q+2)2) における接線の方程式は,y′=−2x−4 より
y=(−2q−4)(x−q)−(q+2)2
∴ y=(−2q−4)x+q2−4 ⋯ ②
①,②が一致するとき
{2p=−2q−4⋯③−p2=q2−4⋯④
③より q=−p−2.
④に代入して −p2=(−p−2)2−44.
整理して p(p+2)=0 ∴p=0,−2.
よって,共通接線の方程式は①より
y=0 と y=−4x−4
曲線 y=x3 の上の点で,原点以外の点Pにおける接線が,x 軸,y 軸及び再びこの曲線と交わる点をそれぞれQ,R,Sとするとき,QR:RSを求めよ.
斜めになっている線分の長さの比は,平行線と線分の比の関係を利用して求めるとよいでしょう.
解答
曲線 y=x3 上の点 P(t,t3) における接線の方程式は,y′=3x2 より
y=3t2(x−t)+t3
∴y=3t2x−2t3
y=0 のとき x=23t.よって点Qの座標は (23t,0).
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