高校数学[総目次]

第6章 微分法・積分法

  スライド ノート 問題
1. 微分係数 [無料]    
2. 導関数 [無料]    
3. 接線 [会員]   [会員]
4. 関数の値の変化 [会員]   [会員]
5. 極大・極小 [会員]    
6. 関数のグラフと方程式・不等式 [会員]    
7. 不定積分 [無料]    
8. 定積分 [会員]    
9. 様々な定積分 [会員]    
10. 面積 [会員]    

演習問題

問題1【基本】
 曲線 y=ax3+bx2+cx+d が点 (0,1) で直線 y=5x1 に接し,点 (1,1) で直線 y=2x+3 に接している.定数 a,b,c,d の値を求めよ.

問題2【標準】
 2曲線 y=x2, y=(x+2)2 の両方に接する直線の方程式を求めよ.

問題3【標準】
 曲線 y=x3 の上の点で,原点以外の点Pにおける接線が,x 軸,y 軸及び再びこの曲線と交わる点をそれぞれQ,R,Sとするとき,QR:RSを求めよ.

問題4【標準】
 曲線 y=x33x2 の接線のうち,この曲線と接点以外の共有点をもたないものの方程式を求めよ.

問題5【標準】
 2曲線 y=x22, y=x2+ax+3 の交点におけるそれぞれの曲線の接線が直交するとき,定数 a の値を求めよ.

問題6【発展】
 関数 y=x43x2+2x のグラフ上の異なる2点で接する接線の方程式を求めよ.

問題1【基本】

 曲線 y=ax3+bx2+cx+d が点 (0,1) で直線 y=5x1 に接し,点 (1,1) で直線 y=2x+3 に接している.定数 a,b,c,d の値を求めよ.

 x=p で接するときはf(p)=g(p), f(p)=g(p)の言い換えが定石です.

解答

 f(x)=ax3+bx2+cx+d とおくと,f(x)=3ax2+2bx+c.

 点 (0,1) で直線 y=5x1 に接するから

f(0)=1,  f(0)=5

d=1,  c=5

 点 (1,1) で直線 y=2x+3 に接するから

f(1)=1, f(1)=2

a+bc+d=1, 3a2b+c=2

 c=5, d=1 を代入して

a+b+51=1,  3a2b5=2

 これを解いて,a=1, b=2.

 以上により a=1, b2, c=5, d=1.

問題2【標準】

 2曲線 y=x2, y=(x+2)2 の両方に接する直線の方程式を求めよ.

2つの解法があります.

解答

解法1
 一方の接線の方程式を作る→連立して重解条件

 曲線 y=x2 上の点 (p,p2) における接線の方程式は

y=2p(xp)+p2

 y=2pxp2  

 これが曲線 y=(x+2)2 に接するとき,y を消去した x の2次方程式 2pxp2=(x+2)2 すなわち

x2+2(p+2)xp2+4=0

が重解をもつから

(判別式)/4=(p+2)2(p2+4)=0

 整理して p(p+2)=0  p=0,2.

 よって,共通接線の方程式は①より

y=0y=4x4

解法2
 それぞれの接線の方程式を作る→係数比較

 曲線 y=x2 上の点 (p,p2) における接線の方程式は

y=2p(xp)+p2

 y=2pxp2  

 同様に曲線 y=(x+2)2=x24x4 上の点 (q,(q+2)2) における接線の方程式は,y=2x4 より

y=(2q4)(xq)(q+2)2

  y=(2q4)x+q24  

 ①,②が一致するとき

{2p=2q4p2=q24

 ③より q=p2.

 ④に代入して p2=(p2)244.

 整理して p(p+2)=0  p=0,2.

 よって,共通接線の方程式は①より

y=0y=4x4

問題3【標準】

 曲線 y=x3 の上の点で,原点以外の点Pにおける接線が,x 軸,y 軸及び再びこの曲線と交わる点をそれぞれQ,R,Sとするとき,QR:RSを求めよ.

 斜めになっている線分の長さの比は,平行線と線分の比の関係を利用して求めるとよいでしょう.

解答

 曲線 y=x3 上の点 P(t,t3) における接線の方程式は,y=3x2 より

y=3t2(xt)+t3

y=3t2x2t3

 y=0 のとき x=23t.よって点Qの座標は (23t,0).