3．接線(数学Ⅱ微分法)【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

第6章　微分法・積分法

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演習問題

　$x=p$ で接するときは\[f(p)=g(p),\ f'(p)=g'(p)\]の言い換えが定石です．

解答

　$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと，$f'(x)=3ax^2+2bx+c$.

　点 $(0,-1)$ で直線 $y=-5x-1$ に接するから

\[f(0)=-1,\ \ f'(0)=-5\]

\[\therefore d=-1,\ \ c=-5\]

　点 $(-1,1)$ で直線 $y=2x+3$ に接するから

\[f(-1)=1,\ f'(-1)=2\]

\[\therefore -a+b-c+d=1,\ 3a-2b+c=2\]

　$c=-5,\ d=-1$ を代入して

\[-a+b+5-1=1,\ \ 3a-2b-5=2\]

　これを解いて，$a=1,\ b=-2$.

　以上により　$a=1,\ b-2,\ c=-5,\ d=-1$.

2つの解法があります．

解答

解法1
　一方の接線の方程式を作る→連立して重解条件

　曲線 $y=x^2$ 上の点 $(p,p^2)$ における接線の方程式は

\[y=2p(x-p)+p^2\]

$\therefore \ y=2px-p^2\ \ \cdots$ ①

　これが曲線 $y=-(x+2)^2$ に接するとき，$y$ を消去した $x$ の2次方程式 $2px-p^2=-(x+2)^2$ すなわち

\[x^2+2(p+2)x-p^2+4=0\]

が重解をもつから

(判別式)$/4=(p+2)^2-(-p^2+4)=0$

　整理して　$p(p+2)=0\ \ \therefore p=0,-2$.

　よって，共通接線の方程式は①より

$y=0$ と $y=-4x-4$

解法2
　それぞれの接線の方程式を作る→係数比較

　曲線 $y=x^2$ 上の点 $(p,p^2)$ における接線の方程式は

\[y=2p(x-p)+p^2\]

$\therefore \ y=2px-p^2\ \ \cdots$ ①

　同様に曲線 $y=-(x+2)^2=-x^2-4x-4$ 上の点 $(q,-(q+2)^2)$ における接線の方程式は，$y’=-2x-4$ より

\[y=(-2q-4)(x-q)-(q+2)^2\]

$\therefore\ \ y=(-2q-4)x+q^2-4\ \ \cdots$ ②

　①，②が一致するとき

\[\left\{\begin{array}{ll}
2p=-2q-4&\cdots\text{③}\\[5pt]
-p^2=q^2-4&\cdots\text{④}
\end{array}\right.\]

　③より　$q=-p-2$.

　④に代入して　$-p^2=(-p-2)^2-44.$

　整理して　$p(p+2)=0\ \ \therefore p=0,-2$.

　よって，共通接線の方程式は①より

$y=0$ と $y=-4x-4$

　斜めになっている線分の長さの比は，平行線と線分の比の関係を利用して求めるとよいでしょう．

解答

　曲線 $y=x^3$ 上の点 ${\rm P}(t,t^3)$ における接線の方程式は，$y’=3x^2$ より

\[y=3t^2(x-t)+t^3\]

\[\therefore y=3t^2x-2t^3\]

　$y=0$ のとき $x=\dfrac23t$．よって点Qの座標は $\left(\dfrac23t,0\right)$.