5．軌跡と方程式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

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5. 軌跡と方程式	[会員]		[会員]
6. 不等式と領域	[会員]

演習問題

解答

$$\left\{ \begin{array}{l} x=a+b\\[5pt] y=ab \end{array} \right.\ \cdots\text{①}$$

とおくと，条件式 $a^2+b^2+a+b=1$ は $(a+b)^2-2ab+(a+b)=1$ と変形できますから

$$x^2-2y+x=1$$

$$\left(\therefore y=\frac12(x^2+x-1)\ \ \cdots\text{②}\right)$$

と表せます．

（②の関係を満たすすべての点 $(x,y)$ がOKではありません。例えば②上の点として $(1,\frac12)$ がありますが，①より $a+b=1,\ ab=\frac12$ となり，この式を同時に満たす実数$a,b$ は存在しません．実際，$a,b$ は$\dfrac{1\pm i}2$ で虚数です．よって②でOKとなる範囲を調べましょう。）

　一方，①より $a,b$ は解と係数の関係から $t$ の2次方程式 $t^2-xt+y=0\ \cdots$③ の2解となりますから

$a,b$ が実数 $\iff$ ③の判別式 $x^2-4y\geqq 0$

　②を代入して

$$x^2-2(x^2+x-1)\geqq 0$$

$$x^2+2x-2\leqq0$$

$$-1-\sqrt3\leqq x\leqq-1+\sqrt3$$

　以上により求める軌跡は

　放物線 $x^2-2y+x=1$ の $-1-\sqrt 3\leqq x\leqq -1+\sqrt 3$ の部分 $\cdots$（答）

解答

　${\rm P}(X,Y)$，${\rm Q}(x,y)$とおくと，P，Qは原点を通る同じ半直線上の点ですから

$$\left\{ \begin{array}{l} X=tx\\[5pt] Y=ty \end{array} \ (t>0) \right.\ \cdots\text{①}$$

とおけます．${\rm OP\cdot OQ}=20$ より

$$\sqrt{X^2+Y^2}\sqrt{x^2+y^2}=t(x^2+y^2)=20$$

　この式が成り立つとき $x^2+y^2\neq0$ (即ち $(x,y)\neq(0,0)\ \cdots$ ③)となりますから $x^2+y^2$ で割って

$$t=\frac{20}{x^2+y^2}\ \cdots\text{②}$$

　また $X,Y$ は $x+y=5$ 上の点より $X+Y=5$．①を代入して

$$tx+ty=5\ \ \ \ \therefore\ t(x+y)=5$$ 　②を代入して $$\frac{20}{x^2+y^2}(x+y)=5$$

$$\therefore\ (x-2)^2+(y-2)^2=8$$
　従って③とから，求める軌跡は

　円 $(x-2)^2+(y-2)^2=8$（ただし原点を除く） $\cdots$（答）

解答

　${\rm P}(s,t)$ とします．Pを通る傾き $m$ の直線の方程式は

$$y-t=m(x-s)$$

$$\therefore y=mx-ms+t\ \cdots\text{①}$$

　これが放物線 $y=x^2$ と接するとき，$mx-ms+t=x^2$，即ち2次方程式 $x^2-mx+ms-t=0$ が重解をもちますから，判別式 $D=0$

$$D=m^2-4(ms-t)=0$$

$$\therefore m^2-4sm+4t=0\ \cdots\text{②}$$

　いま，②の2解を $m_1,m_2$ とすると，これらが接線①の傾きを表します．解と係数の関係から $m_1,m_2=4t$．よって直交条件より

$$m_1m_2=-1\ \iff 4t=-1$$

$$\therefore t=-\frac{1}{4}$$

　従って求める軌跡は　直線 $y=-\dfrac14\ \cdots$（答）

解答

(1)　$(x-a)^2+b=-x^2$ より

$2x^2-2ax+a^2+b=0$ …①

　$C$ と $D$ が異なる2点で交わるから，①の判別式を $D$ とすると $D>0$ より

$$D/4=(-a)^2–2(a^2+b)>0$$

$\therefore b<-\dfrac{a^2}2$ …②

　また，①の2解を $\alpha,\ \beta$ とすると，解と係数の関係から $\alpha+\beta=a$， $\alpha\beta=\dfrac{a^2+b}2$ であり，2交点の $x$ 座標の差が1のとき， $|\alpha-\beta|=1$ の両辺を2乗して $(\alpha-\beta)^2=1$ となるから $(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=1$

　故に　$a^2-4\cdot\dfrac{a^2+b}2=1$

　従って　$b=-\dfrac{a^2}2-\dfrac12$　(これは②を満たす．)

　よって求める軌跡は放物線 $b=-\dfrac{a^2}2-\dfrac12$

(2)　[実数解条件に帰着する解法]

　定数を $k$ として

$$(x-a)^2+b-y+k(x^2+y)=0$$

は，$C$ と $D$ の交点を通る図形を表す．$k=-1$ とおくと

$$(x-a)^2+b-y-(x^2+y)=0$$

　整理して　$2ax+2y-a^2-b=0$

　この方程式は直線を表すから，これが題意の直線である．(1)で得られた $b=-\dfrac{a^2}2-\dfrac12$ を代入して

$$2ax+2y-a^2-\left(-\dfrac{a^2}2-\dfrac12\right)=0$$

　整理して

$a^2-4xa-4y-1=0$　…③

　この直線が通過する領域を $R$ とすると，

　　点 $(X,\ Y)\in R$
$\iff a^2-4Xa-4Y-1=0$ を満たす実数 $a$ が存在する．
$\iff$ 判別式 $D/4=(-2X)^2-(-4Y-1)\geqq0$
$\iff\ \ Y\geqq -X^2-\dfrac14$

　従って $y\geqq -x^2-\dfrac14$ で表される領域が求めるものである．ただし，境界線を含む．

別解１　[ファクシミリの原理による解法]

　上の囲みの式③より　$y=\dfrac14a^2-xa-\dfrac14$　

　ここで $x=X$ に固定し，右辺を $a$ の関数とみて $f(a)$ とおく．

　平方完成して　$f(a)=\dfrac14(a-2X)^2-X^2-\dfrac14$

　(1)より $a$ は実数全体をとり得るから，$f(a)$ は $a=2X$ で最小値 $-X^2-\dfrac14$ をとり，最大値はない．つまり固定した $x=X$ に対して $f(a)$ の値域は $f(a)\geqq -X^2-\dfrac14$ である．

　ここで固定していた $X$ を動かすと，求める領域は　$y\geqq -x^2-\dfrac14$

　(図は省略)

別解２　[包絡線による解法]

　上の囲みの式③を $a$ の関数とみて平方完成すると

$(a-2x)^2-4y-4x^2-1=0$　…④

　よって直線③と曲線 $-4y-4x^2-1=0$ 即ち $y=-x^2-\dfrac14$ は $x=\dfrac a2$ で接する．実際，③即ち④と $-4y-4x^2-1=0$ を連立すると $(a-2x)^2=0$ 即ち $\left(x-\dfrac a2\right)^2=0$ となることから確かめられる．(図は省略)