高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

  スライド ノート 問題
1. 2次関数のグラフ [無料]   [会員]
2. 関数のグラフの移動 [無料]   [会員]
3. 2次関数の最大・最小 [無料]   [会員]
4. 2次関数の決定 [無料]   [会員]
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]   [会員]
6. 2次不等式とグラフ [無料]   [会員]
7. 2次方程式の解の配置 [無料]   [会員]

演習問題

問題3と問題4の違いがどこにあるのかわるでしょうか．一見すると問題4の方が数字が大きくて計算がメンドウそうですが，工夫をすることで，むしろ問題3よりラクに解けます．(発想はやや程度が高くなってしまいますが…．）

問題１【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・頂点が点 (−2,−1)
　　・点 (−4,3) を通る

問題２【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・軸は直線 x=3
　　・2点 (2,2), (5,−4) を通る

問題３【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 (−1,2), (2,−1), (4,7) を通る

問題４【標準】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 (−1,2), (5,2), (13,−110) を通る

問題１【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・頂点が点 (−2,−1)
　　・点 (−4,3) を通る

　2次関数を決定するには
　　① y=ax2+bx+c
　　② y=a(x−p)2+q
　　③ y=a(x−α)(x−β)
のどれかから出発することになります．いずれの場合であっても未知なる文字が3つある訳ですから3つの情報が必要です．
　　①なら　グラフが通る3点
　　②なら　頂点の x 座標，y 座標，他に通る1点
　　③なら　グラフの2つの x 切片と，他に通る1点
です．

解答

　頂点の座標が与えられていますから，y=a(x+2)2−1を出発の式としましょう．このグラフが点 (−4, 3) を通りますから，3=a(−4+2)2−13=4a−1∴a=1　従って求める2次関数はy=(x+2)2−1 (=x2+4x+3)

補足　答えは平方完成されたままでも，展開して整理した式でもどちらでもよいでしょう．

問題２【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・軸は直線 x=3
　　・2点 (2,2), (5,−4) を通る

　軸の情報は頂点の x 座標の情報と同じです．従ってy=a(x−3)2+qの形からスタートさせましょう．

解答

　求める2次関数は　y=a(x−3)2+q とおけて，このグラフが2点 (2, 2), (5, −4) を通りますから

{2=a(2−3)2+q−4=a(5−3)2+q        ∴{a+q=24a+q=−4

　これを解いて　a=−2, q=4
　よって答えはy=−2(x−3)2+4   (=−2x2+12x−14)

問題３【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 (−1,2), (2,−1), (4,7) を通る

　通る3点が与えられている場合は，次の問題4のような特別な設定のものでない限り y=ax2+bx+c とおくところからスタートです．3つの文字 a,b,c の連立方程式を解くことで2次関数を決定します．

解答

　求める2次関数を y=ax2+bx+c とおくと，条件より