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演習問題
問題3と問題4の違いがどこにあるのかわるでしょうか．一見すると問題4の方が数字が大きくて計算がメンドウそうですが，工夫をすることで，むしろ問題3よりラクに解けます．(発想はやや程度が高くなってしまいますが…．）
問題１【基本】
グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
・頂点が点 $(-2,-1)$
・点 $(-4,3)$ を通る
問題２【基本】
グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
・軸は直線 $x=3$
・2点 $(2,2),\ (5,-4)$ を通る
問題３【基本】
グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
・3点 $(-1,2),\ (2,-1),\ (4, 7)$ を通る
問題４【標準】
グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
・3点 $(-1,2),\ (5,2),\ (13, -110)$ を通る
2次関数を決定するには
① $y=ax^2+bx+c$
② $y=a(x-p)^2+q$
③ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$
のどれかから出発することになります．いずれの場合であっても未知なる文字が3つある訳ですから3つの情報が必要です．
①なら グラフが通る3点
②なら 頂点の $x$ 座標，$y$ 座標，他に通る1点
③なら グラフの2つの $x$ 切片と，他に通る1点
です．
解答
頂点の座標が与えられていますから，\[y=a(x+2)^2-1\]を出発の式としましょう．このグラフが点 $(-4,\ 3)$ を通りますから，\[3=a(-4+2)^2-1\]\[3=4a-1\]\[\therefore a=1\] 従って求める2次関数は\[y=(x+2)^2-1\ (=x^2+4x+3)\]
補足 答えは平方完成されたままでも，展開して整理した式でもどちらでもよいでしょう．
軸の情報は頂点の $x$ 座標の情報と同じです．従って\[y=a(x-3)^2+q\]の形からスタートさせましょう．
解答
求める2次関数は $y=a(x-3)^2+q$ とおけて，このグラフが2点 $(2,\ 2),\ (5,\ -4)$ を通りますから
\[\left\{\begin{array}{c}
2=a(2-3)^2+q\\[5pt]
-4=a(5-3)^2+q
\end{array}\right.
\ \ \ \ \ \ \ \ \therefore
\left\{\begin{array}{c}
a+q=2\\[5pt]
4a+q=-4
\end{array}\right.
\]
これを解いて $a=-2,\ q=4$
よって答えは\[y=-2(x-3)^2+4\ \ \ (=-2x^2+12x-14)\]
通る3点が与えられている場合は，次の問題4のような特別な設定のものでない限り $y=ax^2+bx+c$ とおくところからスタートです．3つの文字 $a,b,c$ の連立方程式を解くことで2次関数を決定します．
解答
求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおくと，条件より