4．2次関数の決定【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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演習問題

問題3と問題4の違いがどこにあるのかわるでしょうか．一見すると問題4の方が数字が大きくて計算がメンドウそうですが，工夫をすることで，むしろ問題3よりラクに解けます．(発想はやや程度が高くなってしまいますが…．）

問題１【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・頂点が点 $(-2,-1)$
　　・点 $(-4,3)$ を通る

問題２【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・軸は直線 $x=3$
　　・2点 $(2,2),\ (5,-4)$ を通る

問題３【基本】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 $(-1,2),\ (2,-1),\ (4, 7)$ を通る

問題４【標準】
　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 $(-1,2),\ (5,2),\ (13, -110)$ を通る

問題１【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・頂点が点 $(-2,-1)$
　　・点 $(-4,3)$ を通る

　2次関数を決定するには
　　① $y=ax^2+bx+c$
　　② $y=a(x-p)^2+q$
　　③ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$
のどれかから出発することになります．いずれの場合であっても未知なる文字が3つある訳ですから3つの情報が必要です．
　　①なら　グラフが通る3点
　　②なら　頂点の $x$ 座標， $y$ 座標，他に通る1点
　　③なら　グラフの2つの $x$ 切片と，他に通る1点
です．

解答

　頂点の座標が与えられていますから， $y=a(x+2)^2-1$ を出発の式としましょう．このグラフが点 $(-4,\ 3)$ を通りますから， $3=a(-4+2)^2-1$ $3=4a-1$ $\therefore a=1$ 　従って求める2次関数は $y=(x+2)^2-1\ (=x^2+4x+3)$

補足　答えは平方完成されたままでも，展開して整理した式でもどちらでもよいでしょう．

問題２【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・軸は直線 $x=3$
　　・2点 $(2,2),\ (5,-4)$ を通る

　軸の情報は頂点の $x$ 座標の情報と同じです．従って $y=a(x-3)^2+q$ の形からスタートさせましょう．

解答

　求める2次関数は　 $y=a(x-3)^2+q$ とおけて，このグラフが2点 $(2,\ 2),\ (5,\ -4)$ を通りますから

$\left\{\begin{array}{c} 2=a(2-3)^2+q\\[5pt] -4=a(5-3)^2+q \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{c} a+q=2\\[5pt] 4a+q=-4 \end{array}\right.$

　これを解いて　 $a=-2,\ q=4$
　よって答えは $y=-2(x-3)^2+4\ \ \ (=-2x^2+12x-14)$

問題３【基本】

　グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　・3点 $(-1,2),\ (2,-1),\ (4, 7)$ を通る

　通る3点が与えられている場合は，次の問題4のような特別な設定のものでない限り $y=ax^2+bx+c$ とおくところからスタートです．3つの文字 $a,b,c$ の連立方程式を解くことで2次関数を決定します．

解答

　求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおくと，条件より