1. 数列の極限(ノート)
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数学Ⅲ　第1章　極限

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1.1 収束と発散

無限数列：項が無限に続く数列（$\longleftrightarrow$ 有限数列） \[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots ,\ a_n,\ \cdots \]

　無限数列$\{a_n\}$ について，$n$ を限りなく大きくすると，$a_n$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近付くとき， \[ \lim_{n\to\infty} a_n=\alpha \ \ \cdots(*)\] で表し，このとき数列$\{a_n\}$ は，$\alpha$ に収束するという．
　また，$\alpha$ を数列$\{a_n\}$ の極限値という．
　一方，収束しないとき，数列$\{a_n\}$ は，発散するという．

補足

　$(*)$は「 $n\to\infty$ のとき，$a_n\to\alpha$ 」または，「 $a_n\to\alpha\ (n\to\infty)$ 」とも書く．

収束する例

1. $a_n=\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=0.}$
2. $a_n=\dfrac n{2n+1}$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac 1{2+\frac 1n}=\dfrac 12.}$

収束しない例

1. 正の無限大に発散する．（極限は $\infty$ )
   $a_n=n,\ a_n=n^2,\ a_n=\log_2n$
   これらは $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$
2. 負の無限大に発散する．（極限は $-\infty$ ）
   $a_n=-n,\ a_n=-5n+7,\ a_n=-3^n$
   これらは $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty}$
3. 振動する． \begin{align*} &a_n=(-1)^n\ :\ \{-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \cdots\}\\[5pt] &a_n=\sin\dfrac \pi 2n\ :\ \{1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ \cdots\} \end{align*}

注意

　「$\infty$」や「$-\infty$」は値ではない．よって，例えば $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$ のとき，
　　　✕　数列$\{a_n\}$ の極限値は $\infty$．
　　　〇　数列$\{a_n\}$ の極限は $\infty$．

1.2 極限の性質

極限の性質
　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ が収束し，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha},\ $$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$ のとき，
　①　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}ka_n=k\alpha$　（$k$ は定数）
　②　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(a_n\pm
b_n)=\alpha\pm\beta$　（複号同順）
　③　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$　（$k,\ l$ は定数）
　④　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_nb_n=\alpha\beta$
　⑤　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac \alpha\beta$　（$\beta\neq0$）

注意

　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ がともに収束しなければ，これらの性質は必ずしも成り立たない．例えば④について，
[次の例はいずれも$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\ \lim_{n\to\infty}b_n=0}$]
　1. $a_n=n^2,\ b_n=\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}n=\infty}$
　2. $a_n=n,\ b_n=\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}1=1}$
　3. $a_n=n^2,\ b_n=-\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}$
となって，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n}$ は $\{a_n\},\ \{b_n\}$ がどういう数列かによって変わる．（下の不定形の極限も参照．）

1.3 発散する無限数列を含む極限

すべて複号同順
　①　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\pm\infty\] 　②　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty\] 　③　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\mp\infty}$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}a_nb_n=-\infty\] 　④　$k > 0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}k a_n=\pm\infty\] 　⑤　$k < 0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}k a_n=\mp\infty\] 　⑥　$c$ が定数，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， \[\lim_{n\to\infty}\frac c{a_n}=0,\ \lim_{n\to\infty}(a_n+c)=\pm\infty\]

　これらは次のように簡略に書くと見易くなる：

すべて複号同順
　①　$(\pm\infty)\!+\!(\pm\infty)\!=\!(\pm\infty)$
　②　$(\pm\infty)\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\infty$
　③　$(\pm\infty)\!\times\!(\mp\infty)\!=\!-\infty$
　④　$k\! > \!0$ のとき，$k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\pm\infty$
　⑤　$k\! < \!0$ のとき，$k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\mp\infty$
　⑥　$c$ が定数のとき，$\dfrac c{\pm\infty}\!=\!0,$ $ (\pm\infty)\!+\!c\!=\!(\pm\infty)$

注意

　簡略表記でいうところの $\dfrac\infty\infty$ や $\dfrac 00$，また $\infty\times 0,\ \infty -\infty$ などは不定形の極限といわれ，収束するか発散するかは個々の数列による．
（$\dfrac \infty\infty=1$ や $\infty-\infty=0$ には必ずしもならない．）

例1

　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\dfrac 1n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac 12}$

例2

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\\[5pt] =&\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[5pt] =&\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[5pt] =&\lim_{n\to\infty}\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}\\[5pt] =&\lim_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{1+1/n}+1}\\[5pt] =&\frac 12 \end{align*}\]

1.4 数列の極限の大小関係

　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ が収束し，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$ のとき，
　①　$a_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ ならば，$\alpha\leqq \beta$
　②　$a_n\leqq c_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$，かつ $\alpha=\beta$ ならば，$\{c_n\}$ も収束して，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha}$　（はさみうちの原理）

例題 　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac {\sin n\pi}n}$ を求めよ．

答　$-1\leqq \sin n\pi\leqq 1$ により， \[-\dfrac 1n\leqq \dfrac{\sin n\pi}n\leqq \dfrac 1n.\] 　ここで，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$$\left(-\dfrac 1n\right)=0$，かつ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac 1n=0}$ により， \[\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n\pi}n=0.\]

注意

　①に関連して，「$a_n<b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ ならば $\alpha<\beta$ 」は正しくない．
反例
　$a_n=\dfrac 1n,\ b_n=\dfrac 2n$ とすると， \[a_n < b_n\ \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots).\] 　しかるに $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n\!=\!0,\ \lim_{n\to\infty}b_n\!=\!0}$ となって，$\alpha=\beta$．

　従って，「$a_n<b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ ならば $\alpha\leqq\beta$ 」が正しい命題となる．

　次の定理も重要：

$a_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$，かつ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$ ならば，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=\infty}$　（追い出しの原理）

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