課題②【5年生】(こたえ)

　

１　次の計算をしなさい。

10点×4=40(点)

(1)　$123\dfrac2{13}-\dfrac6{13}$

こたえ

　123を122と1に分けて，$123\dfrac2{13}$ を

\[122+1+\frac2{13}\]

と見ます。

\[1+\frac2{13}=\frac{13+2}{13}=\frac{15}{13}\]

ですから，こたえは

\[122\frac{15}{13}-\frac6{13}=122\frac{15-6}{13}=\underline{\boldsymbol{122\frac{9}{13}}}\]

(2)　$3.56\times 2.3$

こたえ

　$356\times23$ を計算すると

となりますから，小数点を右から$2+1=3$ 番目に打って，こたえは　8.188

(3)　$17-\left(4\dfrac25+2\dfrac35-2\times3\right)$

こたえ

　まずはカッコ内からですが，たし算・引き算よりかけ算の方が優先ゆうせんですから，カッコ内は

\[4\dfrac25+2\dfrac35-6\]

となります。$4\dfrac25+2\dfrac35=6\dfrac55=7$ なので，$7-6=1$ です。よってこたえは

\[17-1=\underline{\boldsymbol{16}}\]

(4)　1時間40分30秒＋2時間35分54秒＝

こたえ

　まず秒から足していきましょう。

　30秒+54秒は84秒です。ここから60秒を1分としてくり上げます。すると残りは $84-60=24$ 秒です。

　次に分を足します。

　40分+35分は75分です。秒からくり上がってきた1分を足して76分。ここから60分を1時間としてくり上げます。すると残りは $76-60=16$ 分です。

　最後に時間を足します。

　1時間＋2時間は3時間です。分からくり上がってきた1時間を足して4時間となります。

　以上により答えは　4時間16分24秒　です。

２　次の数字はある規則きそくに従って並んでいます。24番目の分数を答えなさい。

10点

こたえ

　分子だけを見ていくと

\[1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 1,\ \cdots\]

となっています。次に分母だけ見ていくと

\[1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 5,\ \cdots\]

となっています。すると問題に与えられたの分数たちは，

\[\frac11\ |\ \frac12,\frac21\ |\ \frac13,\frac22,\frac31\ |\ \frac14,\cdots\]

というようにグループに分けることができます。各グループには分数が

1こ，2こ，3こ，4こ，$\cdots$

というようにふくまれています。分数の個数こすうを数えてみましょう。

　1つ目のグループまで　　1こ
　2つ目のグループまで　　1+2=3(こ)
　3つ目のグループまで　　1+2+3=6(こ)
　4つ目のグループまで　　1+2+3+4=10(こ)
　5つ目のグループまで　　1+2+3+4+5=15(こ)
　6つ目のグループまで　　15+6=21(こ)
　7つ目のグループまで　　21+7=28(こ)

となっていますから，25番目の分数は7つ目のグループに入っています。7つ目のグループは

\[\frac17,\ \frac26,\ \frac35,\ \frac44,\ \frac53,\ \frac62,\ \frac71\]

とならんでいて，このグループの先頭である $\dfrac17$ は22番目の数ですから24番目の分数はこのグループの3番目，つまり $\underline{\boldsymbol{\dfrac35}}$ です。

３　1辺の長さが3cmの正方形のおり紙Aと，たて3cm，横6cmの長方形のおり紙Bがたくさんあります。
　次の問いに答えなさい。

10点×3=30(点)

(1)　たて12cm，横15cmの長方形の画用紙があります。この上には折り紙AとBをすきまなく，はみ出すことなく並ならべます。おり紙を最も多く使う場合と，最も少なく使う場合とでは何枚ちがいますか。

こたえ

　最も多く使う場合は折り紙Aだけを使うときです。たてに $12\div3=4$ (枚まい)，横に $15\div3=5$(枚)並べることができますから，使う枚数は

$4\times5=20$(枚)

です。

　次に最も少なく使う場合は折り紙Bだけを使うときです。例えば図のように並べたとき，たてに $12\div6=2$ (枚まい)，横に $15\div3=5$(枚)並べることができますから，使う枚数は

$2\times5=10$(枚)

です。よって求める枚数は

$20-10=$10(枚)

[別の考え方]

　この問題では面積で考えることもできます。画用紙の面積は $12\times15=180({\rm cm^2})$，折り紙Aの面積は $3\times3=9({\rm cm^2})$，折り紙Bの面積は $3\times6=80({\rm cm^2})$ です。

　折り紙Aだけ使うときは

$180\div9=20$(個)

　折り紙Bだけ使うときは

$180\div18=10$(個)

です。よって求める枚数は

$20-10=\,$10(枚)

(2)　たて9cm，横15cmの長方形の画用紙があります。この上には折り紙AとBをすきまなく，はみ出すことなく並べます。おり紙を最も多く使う場合と，最も少なく使う場合とでは何枚ちがいますか。

こたえ

　最も多く使う場合は折り紙Aだけを使うときです。たてに $9\div3=3$ (枚まい)，横に $15\div3=5$(枚)並べることができますから，使う枚数は

$3\times5=15$(枚)

です。

　次に最も少なく使う場合は折り紙Bをできるだけ多く使うときです。例えば図のように並べると使う枚数は8枚です。右下の1枚のみ正方形であることに注意してください。

　よって求める枚数は

$15-8=\,$7(枚)

(3)　おり紙AとBを自由に4枚使って長方形を作ります。何種類しゅるいの長方形が作れますか。ただし，並べ方が違ちがっていても，同じ形の長方形になるときは，それらを区別くべつせずに1通りとして数えます。また，回転させると同じになるものも区別しません。

こたえ

　折り紙Aと折り紙Bの使う枚数の組合せは

おり紙A	0	1	2	3	4
おり紙B	4	3	2	1	0

の5通りです。順番に確認していきましょう。

①折り紙Aが0枚，折り紙Bが4枚のとき

　この2通りです。

②折り紙Aが1枚，折り紙Bが3枚のとき

　この1通りです。

③折り紙Aが2枚，折り紙Bが2枚のとき

　この2通りです。

④折り紙Aが3枚，折り紙Bが1枚のとき

　この1通りです。

⑤折り紙Aが4枚，折り紙Bが0枚のとき

　この1通りです。

　以上により，求めるものは

$2+1+2+1+1=\,$7種類

４　図のようなさいころがあります。このさいころは向かい合う面の目の数を足すと常つねに7になります。
　次の問いに答えなさい。

10点×2=20(点)

(1)　次の図は上のさいころの展開図てんかいずです。残った面の目の数を書きなさい。ただし，「4，5，6」といったように数字で書きなさい。

こたえ

　ヒントのように展開図の一部を移動させて考えましょう。

　答えは図のようになります。

(2)　さいころが図のようにおいてあります。前に5回転がしたあと，右に7回転がすとき，上の面にきている目の数は何ですか。「1，2，3，4，5，6」の数字で答えなさい。ただし，$90^\circ$ 回転させるごとに1回と数えることにします。

こたえ

　さいころを転がす問題のポイントは

の2点です。

　さて，さいころを実際に転がす前に，問題にあるさいころをかいておきましょう。ただし，立体的に書くのはむずかしい上に，いくつかの面の数が書きにくいですよね。そこで，さいころを真上まうえから見た次のような図をかくことにします。

　とてもさいころが見やすくなりましたね。しかしこの図でも，真下ましたの面の数だけは書くことができませんので，カッコ書きで「(6)」というように書いておきましょう。

　このさいころをまずは前に5回転がしていきます。ポイント①で見たように，前に $5-4=1$ 回だけ転がすのと同じです。よってさいころは次の図のようになります。

　次に右に7回転がします。4回転がすと転がさないのと同じでしたから，$7-4=3$ 回だけ転がします。ここでポイント②です。右に3回転がすのはそれと反対方向の左に1回だけ転がすのと同じです。ですからさいころは次の図のようになります。

　従って，求める数字は ２ です。