9. 定積分と不等式(ノート)
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数学Ⅲ　第3章　積分法

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9．定積分と不等式

9.1　定積分と不等式

定理 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば， \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0\] が成り立つ．等号成立は，$[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき．

証明

　$\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする．$F(b)\geqq 0$ を示せばよい． \[F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ （\because \mbox{仮定})\] であるから，$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である．よって， \[F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0\] により， $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり，従って $F(b)\geqq 0$． また，等号が成立するとき，すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは，$F(x)$ の単調増加性により \[0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0\]となるから，$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0． 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$．

■

系 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq 0$，かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば，この区間で常に $f(x)=0$．

証明

　上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか．

■

　上の定理から，直ちに次が成り立つ：

定理 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば， \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\] が成り立つ．等号成立は，$[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき．

証明

　$F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと，区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$．従って， \[\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\]

■

例題1　次を示せ． \[\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]

こたえ

　解答例を表示する

　閉区間 $[0,1]$ において，常に \[1 \leqq 1+x^3\leqq 1+x^2 \] であるから， \[\frac1{1+x^2}\leqq\frac1{1+x^3}\leqq 1\] 　この不等式の等号は常に成り立っている訳ではないから，各辺を0から1まで積分すると \[\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2} < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < \int_0^1\!\!dx\] 　この右辺の積分は1である．またこの左辺の積分は $x=\tan\theta$ とおくと， \[dx=\dfrac{d\theta}{cos^2\theta},\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 1\\\hline \theta&0\to\frac\pi4 \end{array}\] となるから， \[\begin{align*} \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2}&=\int_0^{\frac\pi4}\frac1{1+\tan^2\theta}\cdot\frac1{\cos^2\theta}d\theta\\[5pt] &=\int_0^{\frac\pi4}d\theta=\frac\pi4 \end{align*}\] \[\therefore \frac\pi4 <\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]

■

例題2　$n$ を2以上の自然数とするとき，次を示せ． \[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n\]

こたえ

　解答例を表示する

　関数 $\dfrac1x$ は $x>0$ で単調に減少するから，任意の自然数 $k$ について，$k\leqq x\leqq k+1$ のとき，

\[\frac1{k+1}\leqq \frac1x\]

が成り立つ．この不等式の等号は常に成り立つ訳ではないから，両辺を $k$ から $k+1$ まで積分すると

\[\int_k^{k+1}\frac{dx}{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x\]

\[\therefore \frac1{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x\]

　この式の $k$ に1から $n-1$ まで代入して辺々加えると

\[\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\!+\frac1n<\int_1^2\!\!\frac{dx}x\!+\!\int_2^3\!\!\frac{dx}x\!+\!\cdots\!+\!\int_{n-1}^n\!\!\frac{dx}x\]

　この右辺は

\[\int_1^n\frac{dx}x=\Bigl[\log |x|\Bigr]_1^n=\log n\]

となるから結局上の式は

\[\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\frac1n<\log n\]

　この両辺に1を加えて

\[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n\]

■

別解

　解答例を表示する

　図の長方形の面積の合計より，赤色で囲まれた部分の面積の方が大きいから，

\[\begin{align*} 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n& < 1+\int_1^n\!\!\frac{dx}x\\ &=1+\Bigl[\log x\Bigr]_1^n\\ &=1+\log n \end{align*}\]

■

別解における注意

　$\dfrac1x$ は $x\to0$ で発散するため，次の不等式では積分が計算できない：
\[1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n < \int_0^n\!\!\frac{dx}x\]

定理 \[ \int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right| \]（等号成立は，閉区間 $[a,\ b]$ で $f(x)$ が定符号のとき）

例題　次を示せ． \[ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) \]

こたえ

　解答例を表示する

\[\begin{align*} \mbox{左辺}&\leqq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx\\ &<\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{dx}{x^2}\\ &=\left[-\frac1x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\ &=-\frac1{(n+1)\pi}+\frac1{n\pi}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]

■

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