高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
| スライド | ノート | |
| 1. ファクシミリの原理 | [会員] | |
| 2. バウムクーヘン分割 | [会員] | |
| 3. 円と放物線 | ||
| 4. 垂線の長さ | ||
| 5. 不定方程式 | ||
| 6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか | ||
| 7. 極方程式における $r$ の正負について | ||
| 8. 極座標表示における扇形分割積分 | ||
| 9. 素因数分解の一意性 | ||
| 10. 三角関数の不定積分 | ||
| 11. コーシー・シュワルツの不等式 | ||
| 12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積 | ||
| 13. 整式の除法(発展編) | ||
| 14. 3次関数のグラフの特徴 | ||
| 15. 曲線の長さを求める公式の証明について | ||
| 16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法 |
13．整式の除法(発展編)
整式の除法については数学Ⅱ第1章 式と証明の1．整式の除法で基本的なことを学びました．また，数学Ⅱ第2章 複素数と方程式の4．剰余の定理・因数定理では，整式の除法における余りについて学びました．ここではこれらの発展的な問題について説明します．
例題 $x$ の整式 $f(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x-2$ で，$(x+2)^2$ で割ると余りが $3x-1$ であるという．$f(x)$ を次の式で割った余りを求めよ．
(1) $x+1$
(2) $x+2$
(3) $(x+1)^2(x+2)$
(4) $(x+1)^2(x+2)^2$
答
(1),(2)
$f(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x-2$ ですから，$Q(x)$ を整式として
\[f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2\]
と表せます．$Q(x)$ をこの割り算の商といいます．
剰余の定理によれば，$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $f(-1)$ ですから，
\[f(-1)=0^2\cdot Q(-1)+2\cdot(-1)-2=-4.\]
従って余りは $-4$ です．同様にして $f(x)$ を $x+2$ で割った余りも $f(-2)=3\cdot(-2)-1=-7$ となります．
さて，のちの発展問題に対処するため，この問題を別の方法でも解いてみます．
$f(x)$ を $x+1$ で割ることを考える際，$(x+1)^2Q(x)$ の部分は $x+1$ で割り切れますから
$\boldsymbol{f(x)}$ を $\boldsymbol{x+1}$ で割った余りは $\boldsymbol{2x-2}$ を $\boldsymbol{x+1}$ で割った余りに等しい
ということがいえます．これをもっと簡単な例でいうと，$24\div7$ の余りを求めたいとき，
\[24=7\times2+10\]
と変形したとして，$7\times2$ の部分は 7 で割り切れますから，あとは残った 10 を 7 で割った余りを考えればよいということです．合同式の考え方と同じですね．
$2x-2=2(x+1)-4$ ですから，$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $-4$ です．
同様にして，
$f(x)=(x+2)^2(x$ の整式$)+3x-1$
ですから，$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $3x-1$ を $x+2$ で割った余りに等しく，
\[3x-1=3(x+2)-7\]
と変形できますから余りは $-7$ です．
ここで大切なことは，
$\boldsymbol{f(x)=g(x)h(x)+r(x)}$ と変形できるとき，$\boldsymbol{f(x)}$ を $\boldsymbol{g(x)}$ で割った余りは，$\boldsymbol{r(x)}$ を $\boldsymbol{g(x)}$ で割った余りに等しい
ということです．
(3)
$f(x)$ を $(x+1)^2(x+2)$ で割った余りを $R(x)$ とすれば，
$f(x)=(x+1)^2(x+2)(x$ の整式$)+R(x)$
と表せます．そして既存の式から上の式を作り出すことを考えます．
$f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2$ でしたから，上の式をにらんで $Q(x)$ をあらかじめ1次式 $x+2$ で割っておきます．この
ポイント 商を予め適当な式で割っておく
というのがコツです．余りを定数 $a$ とすると，
$Q(x)=(x+2)(x$ の整式$)+a$
と書けます．ここに整式の除法におけるもう1つの重要な事柄が出てきました。それは
(割る式の次数) ＞ (余りの次数)
です．割る式 $x+2$ は $x$ の1次式ですから，余りは0次式，すなわち定数です．それを $a$ とおいたのです．
上の $Q(x)$ を $f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2$ に代入すると
$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2\{$$(x\!+\!2)(x$の整式$)+a$$\}\!+\!2x\!-\!2.$
変形をして
$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)(x$の整式$)+$$a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$.
割る式 $(x+1)^2(x+2)$ は3次式ですから，余りは2次以下です． 部分は2次以下ですから，これが求める余りです．あとは $a$ を決定します．
冒頭で剰余の定理によって $f(-2)=-7$ でしたから，この式の $x$ を $-2$ とおくと，
\[-7=a(-2+1)^2+2\cdot(-2)-2\]
\[\therefore a=-1\]
従って
部分$=-(x+1)^2+2x-2=-x^2-3$
となり，これが求める余りです．
別解
$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)(x$の整式$)+a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$ から，この式を $x+2$ で割った余りは $a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$ を $x+2$ で割った余りに等しいことがわかります．よってこの式を $\boldsymbol{x+2}$ について展開すると，
\[\begin{align*} &a(x+1)^2+2x-2\\[5pt] =&a\{(x+2)-1\}^2+2(x+2)-6\\[5pt] =&\underline{a(x+2)^2-2a(x+2)+2(x+2)}_{①}\!+a-6 \end{align*}\]
となります．①は $x+2$ で割り切れますから，$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $a-6$ となり，これが $-7$ に等しいのですから $a=-1$．これ以降は先の解法と同じです．
(4)
(3)より，$Q_1(x)$ を $x$ の整式として
$f(x)=(x+1)^2(x+2)Q_1(x)-x^2-3$
と表せます．ここから(3)と同様に，商である $Q_1(x)$ を $x+2$ で予め割っておきます．商を $Q_2(x)$，余りを $b$ とすると
$Q_1(x)=(x+2)Q_2(x)+b$
と表せます．これをすぐ上の式に代入して，
\[\begin{align*} f(x)&\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)\{(x\!+\!2)Q_2(x)\!+\!b\}\!-\!x^2\!-\!3\\[5pt] \!&=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)^2Q_2(x)\!+\!\underline{b(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)\!-\!x^2\!-\!3} \end{align*}\]
この先，(3)では $f(-2)=-7$ を用いて解決できましたが，今回は $f(-2)=-7$ でも $f(-1)=-4$ でも $b$ が落ちてしまいます．
$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割った余りは下線部$\underline{\hspace{10mm}}$を $(x+2)^2$ で割った余りと一致します．この部分を $x+2$ について展開してみましょう．
$x+2=t$ とおくと，$x=t-2$ ですから，
\[\begin{align*} &b(x+1)^2(x+2)-x^2-3\\[5pt] =&b\{(t-2)+1\}^2\,t-(t-2)^2-3\\[5pt] =&b(t^3-2t^2+t)-(t^2-4t+4)-3\\[5pt] =&bt^3-(2b+1)t^2+(b+4)t-7 \end{align*}\]
となります．$f(x)$ を $t^2$ 即ち $(x+2)^2$ で割った余りは，$(b+4)t-7$ 即ち $t$ を元に戻して
\[(b+4)(x+2)-7=(b+4)x+2b+1\]
となり，これが $3x-1$ ですから $b=-1$ となります．従って求める余りは上の下線部より，
\[-(x+1)^2(x+2)-x^2-3=\boldsymbol{-x^3-5x^2-5x-5}\]
です．
高度な別解
数学Ⅲの微分の知識が使えれば，$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)^2Q_2(x)\!+\!b(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)\!-\!x^2\!-\!3$ を微分して
よって，
\[f'(-2)=b+4\]
従って $f'(-2)$ がわかれば $b$ の値が求まりますが，これは最初の条件式 $f(x)=(x+2)^2Q(x)+3x-1$ から
\[f'(x)=2(x+2)Q(x)+(x+2)^2Q'(x)+3\]
\[\therefore\ \ f'(-2)=3\]
故に
\[3=b+4\ \ \therefore b=-1\]
という方法で $b$ を求めることもできます．
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